Xét hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ và thỏa mãn điều kiện $4x.f({x^2}) + 3f(1 - x) = \sqrt {1 - {x^2}} $. Tích phân $I = \int_0^1 {f(x)dx} $ bằng
Trả lời bởi giáo viên
Tích phân hai vế của phương trình: $4x.f({x^2}) + 3f(1 - x) = \sqrt {1 - {x^2}} $, ta được:
$4\int\limits_0^1 {x.f({x^2})dx} + 3\int\limits_0^1 {f(1 - x)dx} = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} $ (1)
Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$.
$\int\limits_0^1 {x.f({x^2})dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f({x^2})d{x^2}} $$ = \dfrac{1}{2}\left( {F({1^2}) - F({0^2})} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {F(1) - F(0)} \right)$
$\int\limits_0^1 {f(1 - x)dx} = - \int\limits_0^1 {f(1 - x)d\left( {1 - x} \right)} $$ = - \left( {F(1 - 1) - F(1 - 0)} \right) = - \left( {F(0) - F(1)} \right)$
$\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} $ là $\dfrac{1}{4}$ diện tích hình tròn tâm $O\left( {0;0} \right)$ bán kính $1$ (phương trình: ${x^2} + {y^2} \le 1$) $ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} = \dfrac{1}{4}.\pi .{R^2} = \dfrac{1}{4}\pi {.1^2} = \dfrac{\pi }{4}$
Khi đó, $(1) \Leftrightarrow 4.\dfrac{1}{2}.(F(1) - F(0)) - 3(F(0) - F(1)) = \dfrac{\pi }{4}$ $ \Leftrightarrow 5(F(1) - F(0)) = \dfrac{\pi }{4}$ $ \Leftrightarrow F(1) - F(0) = \dfrac{\pi }{{20}}$
$I = \int_0^1 {f(x)dx} = F(1) - F(0) = \dfrac{\pi }{{20}}$ .
Hướng dẫn giải:
- Đặt \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)
- Tích phân 2 vế của phương trình đã cho tính \(F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right)\)