Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0\); \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){e^x}f\left( x \right)dx} = \dfrac{{{e^2} - 1}}{4}\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) .
Trả lời bởi giáo viên
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \left( {x + 1} \right){e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = x{e^x}\end{array} \right.\)
Khi đó \(\dfrac{{{e^2} - 1}}{4} = \left. {x.{e^x}f\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {x.{e^x}f'\left( x \right)dx} \Rightarrow \int\limits_0^1 {x.{e^x}f'\left( x \right)dx} = - \dfrac{{{e^2} - 1}}{4}\)
Ta có: $\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) + x{e^x}} \right]}^2}dx} $$ = \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx} + 2\int\limits_0^1 {x.{e^x}f'\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {{x^2}{e^{2x}}dx} $
\( = \dfrac{{{e^2} - 1}}{4} - 2\dfrac{{{e^2} - 1}}{4} + \dfrac{{{e^2} - 1}}{4} = 0\)
$ \Rightarrow f'\left( x \right) + x{e^x} = 0 \Rightarrow f'\left( x \right) = - x{e^x}$$ \Rightarrow f\left( x \right) = - \int {x{e^x}dx} = - \int {xd\left( {{e^x}} \right)} $$ = - \left( {x{e^x} - \int {{e^x}dx} + C} \right) = - x{e^x} + {e^x} + C$
Mà $f\left( 1 \right) = - e + e + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$$ \Rightarrow f\left( x \right) = - x{e^x} + {e^x} = {e^x}\left( {1 - x} \right)$
Do đó
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right){e^x}} dx = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)d\left( {{e^x}} \right)} \\ = \left. {\left( {1 - x} \right){e^x}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = - 1 + e - 1 = e - 2\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
- Tích phân từng phần \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){e^x}f\left( x \right)dx} \) suy ra giá trị tích phân \(\int\limits_0^1 {x.{e^x}f'\left( x \right)dx} \)
- Tính tích phân $\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) + x{e^x}} \right]}^2}dx} $ suy ra giá trị $f'\left( x \right) + x{e^x}$
- Tìm hàm số \(f\left( x \right)\) và tính tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)