Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = - \dfrac{1}{5}\) và \(f'\left( x \right) = {x^3}{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) với mọi \(x \in R.\) Giá trị của \(f\left( 1 \right)\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^3}{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^3}\)
\( \Rightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx = \int {{x^3}dx} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + C.} \)
Theo đề bài ta có: \(f\left( 2 \right) = - \dfrac{1}{5} \Rightarrow - \dfrac{1}{{ - \dfrac{1}{5}}} = \dfrac{{{2^4}}}{4} + C \Leftrightarrow C = 1.\)
\( \Rightarrow - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + 1 \Rightarrow - \dfrac{1}{{f\left( 1 \right)}} = \dfrac{1}{4} + 1 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = - \dfrac{4}{5}.\)
Hướng dẫn giải:
- Chia cả hai vế của đẳng thức bài cho cho \({f^2}\left( x \right)\)
- Thực hiện nguyên hàm hai vế tìm \(f\left( x \right)\) rồi suy ra giá trị \(f\left( 1 \right)\)