Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{{\cos }^2}x}}\) trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(xf'\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 0\). Biết \(a \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) thỏa mãn \(\tan a = 3\). Tính \(F\left( a \right) - 10{a^2} + 3a\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có: $F\left( x \right) = \int {xf'\left( x \right)dx} = \int {xd\left( {f\left( x \right)} \right)} $ $ = xf\left( x \right) - \int {f\left( x \right)dx} + C$
$\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} - \int {\dfrac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx} + C = \dfrac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} - \int {xd\left( {\tan x} \right)} + C\\F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} - x\tan x + \int {\tan xdx} + C = \dfrac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} - x\tan x + \int {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} + C\\F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} - x\tan x - \int {\dfrac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}} + C = \dfrac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} - x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\\F\left( 0 \right) = C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}x}} - x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right|\\\tan a = 3 \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\cos }^2}a}} = {\tan ^2}a + 1 = 10 \Leftrightarrow \cos a = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}\,\,\left( {a \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\end{array}$
$ \Rightarrow F\left( a \right) = 10{a^2} - 3a - \ln \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}$ $ \Rightarrow F\left( a \right) - 10{a^2} + 3a$ $ = - \ln \dfrac{1}{{\sqrt {10} }} = - \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{{10}} = \dfrac{1}{2}\ln 10$
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần tìm \(F\left( x \right)\).
- Từ điều kiện bài cho tính được giá trị biểu thức $F\left( a \right) - 10{a^2} + 3a$
Câu hỏi khác
- Bài tập nguyên hàm toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân các hàm số cơ bản toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp từng phần để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
