Cho \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f(2) = 16,\,\,\int\limits_0^1 {f(2x)dx = 2.} \) Tích phân \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)} dx\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Xét $\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right) = 2,} $ đặt \(2x = t \Leftrightarrow 2dx = dt \Leftrightarrow dx = \dfrac{{dt}}{2}\).
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)
$ \Rightarrow 2 = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4.$
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)
$ \Rightarrow \int\limits_0^2 {x.f'\left( x \right)dx} = x.f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_0\end{array} \right. - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 2f\left( 2 \right) - 4 = 2.16 - 4 = 28.$
Hướng dẫn giải:
+) Đổi biến \(t = 2x\) tính $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} $.
+) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính $\int\limits_0^2 {x.f'\left( x \right)dx} $.