Câu hỏi:
2 năm trước
Cho x, y là những số thực thoả mãn x2−xy+y2=1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=x4+y4+1x2+y2+1. Giá trị của A=M+15m là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có
+) 1+xy=x2+y2≥2xy⇔xy≤1 vì (x−y)2=x2+y2−2xy≥0.
+) x2−xy+y2=1⇔(x+y)2−3xy=1⇔(x+y)2=1+3xy≥0⇔xy≥−13.
Khi đó P=x4+y4+1x2+y2+1=(x2+y2)2−2x2y2+1x2+y2+1=(1+xy)2−2(xy)2+1xy+2.
Đặt t=xy,t∈[−13;1], xét hàm số P=−t2+2t+2t+2
P′=−t2−4t+2(t+2)2; P′=0⇔t=−2+√6
Mà P(−13)=1115; P(1)=1; P(−2+√6)=6−2√6
Khi đó: m=P(−13)=1115; M=P(−2+√6)=6−2√6
Vậy A=M+15m=17−2√6.
Hướng dẫn giải:
- Tìm tập giá trị của tích xy dựa vào điều kiện bài cho.
- Biến đổi P chỉ làm xuất hiện tích xy rồi đặt t=xy
- Xét hàm số P(t) và tìm max, chú ý điều kiện của t tìm được từ đầu.