Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(x\), \(y\) là những số thực thoả mãn \({x^2} - xy + {y^2} = 1\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = \dfrac{{{x^4} + {y^4} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}}\). Giá trị của \(A = M + 15m\) là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có
+) \(1 + xy = {x^2} + {y^2} \ge 2xy \Leftrightarrow xy \le 1\) vì \({\left( {x - y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\).
+) \({x^2} - xy + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 1 + 3xy \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge - \dfrac{1}{3}\).
Khi đó \(P = \dfrac{{{x^4} + {y^4} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - 2{x^2}{y^2} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left( {1 + xy} \right)}^2} - 2{{\left( {xy} \right)}^2} + 1}}{{xy + 2}}\).
Đặt \(t = xy,\,t \in \left[ { - \dfrac{1}{3};\,\,1} \right]\), xét hàm số \(P = \dfrac{{ - {t^2} + 2t + 2}}{{t + 2}}\)
\(P' = \dfrac{{ - {t^2} - 4t + 2}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\); \(P' = 0 \Leftrightarrow t = - 2 + \sqrt 6 \)
Mà \(P\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{11}}{{15}}\); \(P\left( 1 \right) = 1\); \(P\left( { - 2 + \sqrt 6 } \right) = 6 - 2\sqrt 6 \)
Khi đó: \(m = P\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{11}}{{15}}\); \(M = P\left( { - 2 + \sqrt 6 } \right) = 6 - 2\sqrt 6 \)
Vậy \(A = M + 15m = 17 - 2\sqrt 6 \).
Hướng dẫn giải:
- Tìm tập giá trị của tích \(xy\) dựa vào điều kiện bài cho.
- Biến đổi \(P\) chỉ làm xuất hiện tích \(xy\) rồi đặt \(t = xy\)
- Xét hàm số \(P\left( t \right)\) và tìm \(\max ,\min \), chú ý điều kiện của \(t\) tìm được từ đầu.
Câu hỏi khác
- Bài tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị có tham số đối với các hàm số cơ bản môn Toán lớp 12
- Bài tập đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ toán 12 có lời giải
