Câu hỏi:
2 năm trước
Cho tam giác nhọn \(ABC\). Khi quay \(ABC\) quanh các cạnh \(BC,CA,AB\) ta được các hình tròn xoay có thể tích lần lượt là \(\dfrac{{3136\pi }}{5},\dfrac{{9408\pi }}{{13}},672\pi \). Tính diện tích tam giác \(ABC\) ?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Vẽ $AH \bot BC$ tại $H,D$ đối xứng với $A$ qua $H$
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay $\Delta ABC$ quanh cạnh $BC$ bằng tổng thể tích hai khối nón có chung đường tròn đáy bán kính $AH$. Ta có:
$\dfrac{{3136\pi }}{5} = {V_a} = \dfrac{1}{3}\pi A{H^2}.BH + \dfrac{1}{3}\pi A{H^2}.CH$$ = \dfrac{1}{3}\pi A{H^2}.BC = \dfrac{1}{3}\pi .a.h_a^2$
\( \Rightarrow a{V_a} = \dfrac{1}{3}\pi {a^2}h_a^2 = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {2S} \right)^2} = \dfrac{{4\pi }}{3}{S^2}\) với \(S = {S_{ABC}}\).
Tương tự ta có
$\dfrac{{9408\pi }}{{13}} = {V_b} = \dfrac{1}{3}\pi .b.h_b^2 \Rightarrow b{V_b} = \dfrac{{4\pi }}{3}{S^2}$
$672\pi = {V_c} = \dfrac{1}{3}\pi .c.h_c^2 \Rightarrow c{V_c} = \dfrac{{4\pi }}{3}{S^2}$
$ \Rightarrow a.{V_a} = b.{V_b} = c.{V_c} = \dfrac{{4\pi }}{3}{S^2}\;\left( * \right)$
$ \Rightarrow a:b:c = \dfrac{1}{{{V_a}}}:\dfrac{1}{{{V_b}}}:\dfrac{1}{{{V_c}}} = 15:13:14$
Đặt $a = 15k;b = 13k;c = 14k$. Theo công thức Hêrông, ta có
${S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {7056{k^2}} = 84k$ với $p = \dfrac{{a + b + c}}{2} = 21k$
Từ (*) suy ra $\dfrac{{3{V_a}}}{\pi } = \dfrac{{{{\left( {2{S_{ABC}}} \right)}^2}}}{a} \Rightarrow \dfrac{{9408}}{5} = \dfrac{{{{\left( {168k} \right)}^2}}}{{15k}} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow {S_{ABC}} = 84$
Hướng dẫn giải:
- Lập các công thức tính thể tích mỗi khối nón theo \(a,b,c,S\)
- Từ đó suy ra tỉ số \(a:b:c\) và tính diện tích tam giác.
