Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm \(O\) và \({O^\prime }\), bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2 a. Trên đường tròn đáy có tâm \(O\) lấy điểm \(A\), trên đường tròn tâm \({O^\prime }\) lấy điểm \(B\). Đặt \(\alpha \) là góc giữa AB và đáy. Tính \(\tan \alpha \) khi thể tích khối tứ diện \(O{O^\prime }AB\) đạt giá trị lớn nhất.

Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn $4,5\,cm$ vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng $5,4\,cm$ và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng $4,5\,cm.$ Bán kính của viên billiards đó bằng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,$ \(AB = a\sqrt 3 ,\,\,BC = 2a\), đường thẳng $AC’$ tạo với mặt phẳng $(BCC’B’)$ một góc $30^0$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho bằng:

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC.$ Hình nón có đỉnh $S$ và có đường tròn đáy là đường tròn tam giác $ABC$ gọi là hình nón nội tiếp hình chóp $S.ABC,$ hình nón có đỉnh $S$ và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABC.$ Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho là

Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A,\,\,AB = AC = a$ và $AA' = a\sqrt 2 .$ Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện $AB'A'C$ là

Một hộp đựng phấn hình hộp chữ nhật có chiều dài $30cm,$ chiều rộng $5cm$ và chiều cao $6cm.$ Người ta xếp thẳng đứng vào đó các viên phấn giống nhau, mỗi viên phấn là khối trụ có chiều cao $h = 6cm$ và bán kính đáy $r = \dfrac{1}{2}cm.$ Hỏi có thể xếp được tối đa bao nhiêu viên phấn.