Cho phương trình \(\dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {x + 2} \right) + x + 3 = {\log _2}\dfrac{{2x + 1}}{x} + {\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)^2} + 2\sqrt {x + 2} \), gọi $S$ là tổng tất cả các nghiệm của nó. Khi đó, giá trị của $S$ là:

Điều kiện: \(x > 0\) hoặc \( - 2 < x <  - \dfrac{1}{2}\) 

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {x + 2} \right) + x + 3 = {\log _2}\dfrac{{2x + 1}}{x} + {\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)^2} + 2\sqrt {x + 2} \\ \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {x + 2}  + x + 2 + 1 - 2\sqrt {x + 2}  = {\log _2}\left( {2 + \dfrac{1}{x}} \right) + 1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {x + 2}  + {\left( {\sqrt {x + 2} } \right)^2} - 2\sqrt {x + 2}  = {\log _2}\left( {2 + \dfrac{1}{x}} \right) + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {x + 2}  + {\left( {\sqrt {x + 2} } \right)^2} - 2\sqrt {x + 2}  = {\log _2}\left( {2 + \dfrac{1}{x}} \right) + {\left( {2 + \dfrac{1}{x}} \right)^2} - 2\left( {2 + \dfrac{1}{x}} \right)\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\log _2}t + {t^2} - 2\sqrt t ,\left( {t > 0} \right).\)

Ta có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t.\ln 2}} + 2t - \dfrac{1}{{\sqrt t }} > 0,\forall t > 0\) \( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) 

Mà theo $\left( * \right)$ ta có: \(f\left( {\sqrt {x + 2} } \right) = f\left( {2 + \dfrac{1}{x}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x + 2}  = 2 + \dfrac{1}{x}\\ \Leftrightarrow x + 2 = 4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} - 4{x^2} - 4x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 4x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 3x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{3 - \sqrt {13} }}{2}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow S =  - 1 + \dfrac{{3 + \sqrt {13} }}{2} = \dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\end{array}\)