Câu hỏi:
2 năm trước
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( {3;4} \right)\). Điểm \(P\left( {\dfrac{a}{b};0} \right)\) (với \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản, $b>0$) trên trục hoành thỏa mãn tổng khoảng cách từ \(P\) tới hai điểm \(A\) và \(B\) là nhỏ nhất. Tính \(S = a + b\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có \(A\), \(B\) nằm cùng phía so với \(Ox\).
Điểm \(A'\left( {1;\,\, - 2} \right)\) đối xứng với điểm \(A\) qua \(Ox\).
Ta có: \(PA + PB = PA' + PB\)
Do đó, để \(PA + PB\) nhỏ nhất thì: 3 điểm \(P,A',B\) thẳng hàng.
\( \Rightarrow \overrightarrow {PA'} \), \(\overrightarrow {PB} \) cùng phương.
$\overrightarrow {PA'} = \left( {\dfrac{{b - a}}{b};\,\, - 2} \right),\,\,\,\overrightarrow {PB} = \left( {\dfrac{{3b - a}}{b};\,\,4} \right)$
\( \Rightarrow \dfrac{{b - a}}{{3b - a}} = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2b - 2a = - 3b + a \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow a = 5,b = 3\)
Hướng dẫn giải:
Nhận xét: \(A,B\) cùng phía so với \(Ox\) nên:
+ Tìm tọa độ \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(Ox\)
+ Đánh giá GTNN của \(AP + BP\) đạt được khi nào rồi tìm \(P\)
