Câu hỏi:
2 năm trước
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 3} \right)\), \(B\left( {3; - 4} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) trên trục hoành sao cho chu vi tam giác $AMB$ nhỏ nhất.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Cách 1: Do \(M\) trên trục hoành $ \Rightarrow M\left( {x;0} \right)$, $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1} \right)$$ \Rightarrow AB = \sqrt 2 $.
$\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2;3} \right)$, $\overrightarrow {BM} = \left( {x - 3;4} \right)$
Ta có chu vi tam giác $AMB$: ${P_{ABM}} = \sqrt 2 + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {3^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {4^2}} $
$ = \sqrt 2 + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {3^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + {4^2}} $$ \ge \sqrt 2 + \sqrt {{{\left( {x - 2 + 3 - x} \right)}^2} + {{\left( {3 + 4} \right)}^2}} $
$ \Leftrightarrow {P_{ABM}} \ge 6\sqrt 2 $. Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{{x - 2}}{{3 - x}} = \dfrac{3}{4}$$ \Leftrightarrow x = \dfrac{{17}}{7}$\( \Rightarrow M\left( {\dfrac{{17}}{7};0} \right)\).
Cách 2: Lấy đối xứng $A$ qua $Ox$ ta được $A'\left( {2;3} \right)$. Ta có $MA + MB = MA' + MB \ge A'B$.
Dấu bằng xảy ra khi $M$ trùng với giao điểm của $A'B$ với $Ox$.
Hướng dẫn giải:
- Gọi tọa độ điểm \(M\left( {x;0} \right)\), lập biểu thức tính chu vi tam giác \(ABM\)
- Đánh giá GTNN của biểu thức và kết luận.
