Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A\left( {2;{\rm{ }}3} \right)$ và tâm $I\left( { - 1;{\rm{ }}1} \right)$. Biết điểm $M\left( {4;{\rm{ }}9} \right)$ nằm trên đường thẳng $AD$ và điểm $D$ có tung độ gấp đôi hoành độ. Tìm các đỉnh còn lại của hình bình hành?

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AI}  =  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \). Điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {AM}  = x\overrightarrow {AB} \) (\(x\) là số thực). Tìm \(x\) để M, G, I thẳng hàng.

Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC. Gọi \({G_1},\,\,{G_2}\) lần lượt là trọng tâm tam giác ABN, ACM. Biết rằng \(\overrightarrow {{G_1}{G_2}} \) được biểu diễn theo hai vecto \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \) dưới dạng \(\overrightarrow {{G_1}{G_2}}  = x\overrightarrow {AB}  + y\overrightarrow {AC} .\) Khi đó x + y bằng:

Cho tứ giác \(ABCD\) trên cạnh \(AB\), \(CD\) lần lượt lấy các điểm \(M\), \(N\) sao cho \(3\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {AB} \) và \(3\overrightarrow {DN}  = 2\overrightarrow {DC} \). Tính vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {BC} \).

Cho \(\Delta ABC\). Gọi \(M\), \(N\) là các điểm thỏa mãn: \(\overrightarrow {MA\,}  + \overrightarrow {MB\,}  = \overrightarrow {0\,} \), \(2\overrightarrow {NA\,}  + 3\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {0\,} \) và \(\overrightarrow {BC\,}  = k\overrightarrow {BP\,} \). Tìm \(k\) để ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) thẳng hàng.

Cho hai véc tơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ thỏa mãn các điều kiện $\left| {\overrightarrow a } \right| = \dfrac{1}{2}\left| {\overrightarrow b } \right| = 1$,$\left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {15} $. Đặt $\overrightarrow u  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b $ và $\overrightarrow v  = 2k\overrightarrow a  - \overrightarrow b $, $k \in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các giá trị của $k$ sao cho $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 60^\circ $

Cho tứ giác $ABCD$, trên cạnh $AB$, $CD$ lấy lần lượt các điểm $M$, $N$ sao cho $3\,\overrightarrow {AM}  = 2\,\overrightarrow {AB} $ và $3\,\overrightarrow{DN}  = 2\,\overrightarrow {DC} $. Tính vectơ $\overrightarrow {MN} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {AD} $, $\overrightarrow {BC} $.