Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng $y =  - 2x + m$ cắt đồ thị $\left( H \right)$ của hàm số $y = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}$ tại hai điểm \(A,{\rm{ }}B\) phân biệt sao cho \(P = k_1^{2018} + k_2^{2018}\) đạt giá trị nhỏ nhất, với \({k_1},{k_2}\) là hệ số góc của tiếp tuyến tại \(A,{\rm{ }}B\) của đồ thị $\left( H \right)$.

Phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}} =  - 2x + m$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 2\\\left( {x + 2} \right)\left( {2x - m} \right) + 2x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 2\\2{x^2} - \left( {m - 6} \right)x + 3 - 2m = 0{\rm{      (1)}}\end{array} \right.$

Đường thẳng $d:y =  - 2x + m$ cắt $(H)$ tại hai điểm phân biệt

$ \Leftrightarrow $ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác $ - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 6} \right)^2} - 8\left( {3 - 2m} \right) > 0\\2.{\left( { - 2} \right)^2} - \left( {m - 6} \right).\left( { - 2} \right) + 3 - 2m \ne 0\end{array} \right. (*)$

Khi đó ${x_A},{\rm{ }}{x_B}$ là 2 nghiệm phân biệt của (1) $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = \dfrac{{m - 6}}{2}\\{x_A}{x_B} = \dfrac{{3 - 2m}}{2}\end{array} \right.(2)$

Ta có $y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \Rightarrow {k_1} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_A} + 2} \right)}^2}}},{\rm{ }}{k_2} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_B} + 2} \right)}^2}}}$

$ \Rightarrow {k_1}{k_2} = \dfrac{1}{{{{\left[ {2\left( {{x_A} + {x_B}} \right) + {x_A}{x_B} + 4} \right]}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {m - 6 + \dfrac{{3 - 2m}}{2} + 4} \right)}^2}}} = 4$

$ \Rightarrow P = k_1^{2018} + k_2^{2018} \ge 2\sqrt {k_1^{2018}k_2^{2018}}  = 2\sqrt {{4^{2018}}} .$

Dấu $''=''$ xảy ra $ \Leftrightarrow {k_1} = {k_2} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {{x_A} + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_B} + 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} + 2 = {x_B} + 2\\{x_A} + 2 =  - \left( {{x_B} + 2} \right)\end{array} \right.(3)$

Do $\left\{ \begin{array}{l}A \ne B\\A,{\rm{ }}B \in \left( H \right)\end{array} \right. \Rightarrow {x_A} \ne {x_B}$ nên (3) $ \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} =  - 4.$

Kết hợp với (2) ta được $\dfrac{{m - 6}}{2} =  - 4 \Leftrightarrow m =  - 2$ thỏa mãn (*).