Câu hỏi:
2 năm trước
Hàm số y=(x+m)3+(x+n)3−x3 (tham số m;n) đồng biến trên khoảng (−∞;+∞). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=4(m2+n2)−m−n bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có y′=3(x+m)2+3(x+n)2−3x2=3[x2+2(m+n)x+m2+n2]
Hàm số đồng biến trên (−∞;+∞)⇔{a>0Δ′≤0⇔mn≤0
TH1: mn=0⇔[m=0n=0
Do vai trò của m,n là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp m=0.
⇒P=4n2−n=(2n−14)2−116≥−116(1)
TH2: mn<0⇔m>0;n<0 (do vai trò của m,n như nhau).
Ta có P=(2m−14)2−116+4n2+(−n)>−116(2)
Từ (1),(2) ta có Pmin.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m = \dfrac{1}{8};n = 0 hoặc m = 0;n = \dfrac{1}{8}
Hướng dẫn giải:
- Hàm số đồng biến trên R \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in R suy ra điều kiện của m,n
- Dùng điều kiện của m,n tìm được ở trên để đánh giá GTNN của P