Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hệ sau có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}{3^{2x + \sqrt {x + 1} }} - {3^{2 + \sqrt {x + 1} }} + 2017x \le 2017\\{x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 2m + 3 \ge 0\end{array} \right.$.

Điều kiện $x \ge  - 1$.

Xét ${3^{2x + \sqrt {x + 1} }} - {3^{2 + \sqrt {x + 1} }} + 2017x \le 2017$$\Leftrightarrow {3^{2x}}{.3^{\sqrt {x + 1} }} - {3^2}{.3^{\sqrt {x + 1} }} \le 2017 - 2017x$

$\Leftrightarrow$$\left( {{9^x} - 9} \right){3^{\sqrt {x + 1} }} \le 2017\left( {1 - x} \right)$. Dễ thấy $x = 1$ là một nghiệm.

Nếu $x > 1$ thì $VT = \left( {{9^x} - 9} \right){3^{\sqrt {x + 1} }} > 0$, $VP = 2017\left( {1 - x} \right) < 0$

Suy ra $\left( {{9^x} - 9} \right){3^{\sqrt {x + 1} }} \le 2017\left( {1 - x} \right)$ vô nghiệm.

Nếu $- 1 \le x < 1$ thì $VT = \left( {{9^x} - 9} \right){3^{\sqrt {x + 1} }} < 0$, $VP = 2017\left( {1 - x} \right) > 0$

Suy ra $\left( {{9^x} - 9} \right){3^{\sqrt {x + 1} }} \le 2017\left( {1 - x} \right)$ có nghiệm với $- 1 \le x < 1$

Vậy bpt ${3^{2x + \sqrt {x + 1} }} - {3^{2 + \sqrt {x + 1} }} + 2017x \le 2017$ có nghiệm với $- 1 \le x \le 1$

Bài toán trở thành tìm $m$ để bpt ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 2m + 3 \ge 0$ có nghiệm $- 1 \le x \le 1$

BPT $\Leftrightarrow m\left( {x - 2} \right) \le {x^2} - 2x + 3$ $\Leftrightarrow m \ge \dfrac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 2}} = f\left( x \right)$ $\left( * \right)$ (Do $- 1 \le x \le 1$)

$f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

Xét $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2 - \sqrt 3  \in \left[ { - 1;1} \right]$

Để bpt $\left( * \right)$ có nghiệm thì $m \ge \mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} .$

Lập bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ { - 1;1} \right]$ ta có $m \ge f\left( 1 \right) = f\left( { - 1} \right) =  - 2$

Vậy $m \ge  - 2$.