Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm số giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({4^{x + 1}} + {4^{1 - x}} = \left( {m + 1} \right)\left( {{2^{2 + x}} - {2^{2 - x}}} \right) + 16 - 8m\) có nghiệm trên \(\left[ {0;1} \right]\) ?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
\({4^{x + 1}} + {4^{1 - x}} = \left( {m + 1} \right)\left( {{2^{2 + x}} - {2^{2 - x}}} \right) + 16 - 8m\)\( \Leftrightarrow 4\left( {{4^x} + {4^{ - x}}} \right) = 4\left( {m + 1} \right)\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right) + 16 - 8m\)
Đặt \(t = u\left( x \right) = {2^x} - {2^{ - x}}\), \(x \in \left[ {0;\,1} \right]\)
Ta có: \(u'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + {2^{ - x}}\ln 2 > 0,\) \(\forall x \in \left[ {0;\,1} \right]\)
Suy ra \(u\left( 0 \right) \le t \le u\left( 1 \right)\) hay \(t \in \left[ {0;\dfrac{3}{2}} \right]\)
\( \Rightarrow {t^2} = {4^x} + {4^{ - x}} - {2.2^x}{.2^{ - x}} \Rightarrow {4^x} + {4^{ - x}} = {t^2} + 2\)
Phương trình trở thành :
$4\left( {{t^2} + 2} \right) = 4t\left( {m + 1} \right) + 16 - 8m$$ \Leftrightarrow {t^2} + 2 = t\left( {m + 1} \right) + 4 - 2m$
$ \Leftrightarrow {t^2} + 2 = mt + t + 4 - 2m$$ \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = m\left( {t - 2} \right)$$ \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} - t - 2}}{{t - 2}} = t + 1$
Vì \(t \in \left[ {0;\;\;\dfrac{3}{2}} \right]\) nên \(m = t + 1 \in \left[ {1;\dfrac{5}{2}} \right]\)
Vậy có \(2\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.
Hướng dẫn giải:
- Đặt ẩn phụ \(t = {2^x} + {2^{ - x}}\) và tìm điều kiện của \(t\)
- Cô lập \(m\) về dạng \(m = f\left( t \right)\) và đánh giá \(f\left( t \right)\) theo điều kiện đã tìm được của \(t\) ở trên.
- Phương trình đã cho có nghiệm nếu đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại ít nhất một điểm.
