Cho \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(\log _2^3a + \log _2^3b + \log _2^3c \le 1.\) Khi biểu thức \(P = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3\left( {{{\log }_2}{a^a} + {{\log }_2}{b^b} + {{\log }_2}{c^c}} \right)\) đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng.

\(a + b + c\) là

Đặt \(x = {\log _2}a;y = {\log _2}b;z = {\log _2}c.\)

Vì \(a,b,c \in \left[ {1;\,2} \right]\) nên \(x,y,z \in \left[ {0;1} \right]\)

\(\begin{array}{l}P = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3\left( {{{\log }_2}{a^a} + {{\log }_2}{b^b} + {{\log }_2}{c^c}} \right)\\= {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3\left( {a{{\log }_2}a + b{{\log }_2}b + c{{\log }_2}c} \right)\\= {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3\left( {ax + by + cz} \right).\end{array}\)

Ta chứng minh \({a^3} - 3ax \le {x^3} + 1.\) Thật vậy:

Xét hàm số \(f\left( a \right) = a - {\log _2}a,\,a \in \left[ {1;\,\,2} \right] \Rightarrow f'\left( a \right) = 1 - \dfrac{1}{{a\ln 2}} \Rightarrow f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{{\ln 2}}\)

Trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) ta có \(f\left( a \right) \le \max \left\{ {f\left( 1 \right),f\left( 2 \right),f\left( {\dfrac{1}{{\ln 2}}} \right)} \right\} = 1 \Rightarrow a - {\log _2}a \le 1\)

hay \(a - x \le 1 \Leftrightarrow a - x - 1 \le 0.\)

Xét: ${a^3} - 3ax - {x^3} - 1 = \left( {a - x - 1} \right)\left( {{a^2} + {x^2} + 1 + a + ax - x} \right) \le 0$

( Vì theo trên ta có \(a - x - 1 \le 0\) và \({a^2} + \left( {{x^2} - x + 1} \right) + a + ax > 0,\) \(\forall a \in \left[ {1;\,\,2} \right],\,\) \(\forall x \in \left[ {0;\,\,1} \right]\))

Vậy \({a^3} - 3ax - {x^3} - 1 \le 0\)\( \Leftrightarrow {a^3} - 3ax \le {x^3} + 1\). Tương tự \({b^3} - 3by \le {y^3} + 1;\)\({c^3} - 3cz \le {z^3} + 1\)

Do đó \(P\, = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3\left( {ax + by + cz} \right)\, \le {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3 \le 1 + 3 = 4\)

Dấu bằng xảy ra  khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) = \max \left\{ {f\left( 1 \right),f\left( 2 \right),f\left( {\dfrac{1}{{\ln 2}}} \right)} \right\} = 1\\f\left( b \right) = \max \left\{ {f\left( 1 \right),f\left( 2 \right),f\left( {\dfrac{1}{{\ln 2}}} \right)} \right\} = 1\\f\left( b \right) = \max \left\{ {f\left( 1 \right),f\left( 2 \right),f\left( {\dfrac{1}{{\ln 2}}} \right)} \right\} = 1\\{x^3} + {y^3} + {z^3} = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}c = 1\\c = 2\end{array} \right.\\{x^3} + {y^3} + {z^3} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = 1\end{array} \right.\\{x^3} + {y^3} + {z^3} = 1\end{array} \right.\)

Với \(x = 0 \Rightarrow {y^3} + {z^3} = 1\). Nếu \(y = 0\) thì \({\rm{z}} = 1\), nếu \(y = 1\)  thì \({\rm{z}} = 0\)

Với \(x = 1 \Rightarrow {y^3} + {z^3} = 0 \Rightarrow y = z = 0\)( Vì y và z chỉ có thể bằng 0 hoặc bằng 1)

Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 0,z = 1\) và các hoán vị, tức là \(a = b = 1,c = 2\) và các hoán vị. Khi đó \(a + b + c = 4\).