Câu hỏi:
2 năm trước
Biết \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {\dfrac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\) và \(x{{\kern 1pt} _1} + 2{x_2} = \dfrac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)\) với \(a\), \(b\) là hai số nguyên dương. Tính \(a + b.\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Ta có \({\log _7}\left( {\dfrac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x \Leftrightarrow {\log _7}\left( {\dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} - 4x + 1 = 2x\)
\( \Leftrightarrow {\log _7}{\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {2x - 1} \right)^2} = {\log _7}2x + 2x\left( 1 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _7}t + t \Leftrightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 7}} + 1 > 0\) với \(t > 0\)
Vậy hàm số đồng biến
Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(f\left( {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \right) = f\left( {2x} \right) \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} = 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{4}\\x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\)
Vậy \({x_1} + 2{x_2} = \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{9 - \sqrt 5 }}{4}{\rm{ }}\left( l \right)\\\dfrac{{9 + \sqrt 5 }}{4}{\rm{ }}\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow a = 9;b = 5 \Rightarrow a + b = 9 + 5 = 14.\)
Hướng dẫn giải:
- Biến đổi phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\)
- Sử dụng phương pháp hàm số đánh giá hàm \(y = f\left( t \right)\) rồi giải phương trình.
