Câu hỏi:
2 năm trước
Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình \({\log _2}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 1}}{{2x}}} \right) + {2^{\left( {x + \frac{1}{{2x}}} \right)}} = 5\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Điều kiện: \(x > 0\).
PT: \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{{2{x^2} + 1}}{{2x}}} \right) + {2^{\left( {\frac{{2{x^2} + 1}}{{2x}}} \right)}} = 5\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Đặt \(t = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{2x}} = x + \dfrac{1}{{2x}} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{1}{{2x}}} = \sqrt 2 \)
PT trở thành \({\log _2}t + {2^t} = 5{\rm{ (2)}}\).
Xét hàm \(f\left( t \right) = {\log _2}t + {2^t}\,\,\left( {t \ge \sqrt 2 } \right)\) là hàm đồng biến nên:
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( t \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow t = 2\)(t/m).
Với \(t = 2\) thì \(\dfrac{{2{x^2} + 1}}{{2x}} = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 1 = 0\)
Vậy \({x_1}{x_2} = \dfrac{1}{2}\) (theo Viet ).
Hướng dẫn giải:
- Đặt ẩn phụ \(t = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{2x}}\) và tìm điều kiện cho ẩn, đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = 5\)
- Dùng phương pháp hàm số xét hàm \(y = f\left( t \right)\) để giải phương trình và kết luận.
