Câu hỏi:
2 năm trước
Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 2a√3, góc ở đỉnh là 120∘. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất Smax của thiết diện đó là bao nhiêu?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Giả sử O là tâm đáy và AB là một đường kính của đường tròn đáy hình nón.
Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác cân SAM. Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy R = OA = 2a\sqrt 3 , \widehat {ASB} = 120^\circ nên \widehat {ASO} = 60^\circ .
Xét tam giác SOA vông tại O, ta có \sin 60^\circ = \dfrac{{OA}}{{SA}} \Rightarrow SA = \dfrac{{OA}}{{\sin 60^\circ }} = 4a.
Diện tích thiết diện là {S_{SAM}} = \dfrac{1}{2}SA.SM.\sin \widehat {ASM} = \dfrac{1}{2}.4a.4a.\sin \widehat {ASM} = 8{a^2}.\sin \widehat {ASM}
Do 0 < \sin \widehat {ASM} \le 1 nên {S_{SAM}} lớn nhất khi và chỉ khi \sin \widehat {ASM} = 1 hay khi tam giác ASM vuông cân đỉnh S (vì \widehat {ASB} = 120^\circ > 90^\circ nên tồn tại tam giác ASM thoả mãn).
Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là {S_{\max }} = 8{a^2}{\mkern 1mu} (đvdt).
Hướng dẫn giải:
Viết biểu thức tính diện tích thiết diện và đánh giá giá trị lớn nhất của biểu thức.
