Câu hỏi:

2 năm trước

Cho khối trụ có hai đáy là hình tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';R} \right)$ , $OO' = 4R$ . Trên đường tròn tâm $O$ lấy $\left( O \right)$ lấy hai điểm $A, B$ sao cho $AB = R\sqrt 3$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ cắt $OO’$ và tạo với đáy một góc bằng $60^0$ . $(P)$ cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng:

$\left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right){R^2}$

$\left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}} \right){R^2}$

$\left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right){R^2}$

$\left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}} \right){R^2}$

Xem đáp án

108 lượt xem

Tổng hợp câu hay và khó chương 6 phần 1 - MÔN TOÁN - Lớp 12. Thi ngay

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: c

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ ta có:

$OM = \sqrt {O{A^2} - {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{R^2} - \dfrac{{3{R^2}}}{4}} = \dfrac{R}{2}$

Giả sử mặt phẳng (P) cắt trục OO’ tại I. Ta có : IA = IB nên $\Delta IAB$ cân tại I, do đó $MI \bot AB$

Do đó góc giữa (P) và mặt đáy bằng $\widehat {IMO} = {60^0}$

Xét tam giác vuông IMO có : $OI = OM.\tan 60 = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} < \dfrac{{OO'}}{2} = 2R$

$\Rightarrow I$ nằm giữa O và O’. Do đó (P) không cắt đáy còn lại.Vậy hình chiếu của (P) trên $\left( {O;R'} \right)$ là phần diện tích của hình quạt cung lớn AB và $\Delta OAB$ (phần gạch chéo).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OAB có :

$\cos \widehat {AOB} = \dfrac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}} = \dfrac{{{R^2} + {R^2} - 3{R^2}}}{{2{R^2}}} = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AOB} = {120^0}$

$\Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB.\sin 120 = \dfrac{1}{2}{R^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = {R^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}$

Gọi ${{S}_{\overset\frown{OAB}}}$ là diện tích hình quạt $\Rightarrow {{S}_{\overset\frown{OAB}}}=\dfrac{\dfrac{4\pi }{3}}{2\pi }.\pi {{R}^{2}}=\dfrac{2}{3}\pi {{R}^{2}}$

$\Rightarrow {{S}_{hc}}={{S}_{\overset\frown{OAB}}}+{{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{2}{3}\pi {{R}^{2}}+{{R}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

Vậy diện tích phần thiết diện cần tìm là :

${S_{hc}} = S.\cos 60 \Rightarrow S = \dfrac{{{S_{hc}}}}{{\cos 60}} = 2\left( {\dfrac{2}{3}\pi {R^2} + {R^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}} \right) = \left( {\dfrac{4}{3}\pi {R^2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{R^2}} \right) = \left( {\dfrac{4}{3}\pi + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right){R^2}$

Hướng dẫn giải:

+) Chứng minh mặt phẳng $(P)$ không cắt đáy $\left( {O';R} \right)$

+) Tìm phần hình chiếu của mặt phẳng $(P)$ trên mặt đáy. Tính ${S_{hc}}$

+) Sử dụng công thức ${S_{hc}} = S.\cos 60$

Câu hỏi khác

Câu 1:

Một chiếc phễu có dạng hình nón với chiều cao 30cm.Người ta đổ nước vào phễu sao cho mực nước trong phễu cao 10cm (H1). Bịt kín miệng phễu và lật ngược phễu lại (H2). Khi đó, chiều cao của mực nước trong phễu có giá trị gần nhất với?

Xem đáp án

81 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 2:

Một khối đồ chơi có dạng khối nón, chiều cao bằng $20cm$ , trong đó có chứa một lượng nước. Nếu đặt khối đồ chơi theo hình H1 thì chiều cao của lượng nước bằng $\dfrac{2}{3}$ chiều cao của khối nón. Hỏi nếu đặt khối đồ chơi theo hình H2 thì chiều cao $h$ của lượng nước trong khối đó gần với giá trị nào sau đây?

$2,21\left( {cm} \right)$

$5,09\left( {cm} \right)$

$6,67\left( {cm} \right)$

$5,93\left( {cm} \right)$

Xem đáp án

102

102 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 3:

Một hình nón đỉnh $S$ có bán kính đáy bằng $2a\sqrt 3$ , góc ở đỉnh là $120^\circ$ . Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất ${S_{\max }}$ của thiết diện đó là bao nhiêu?

${S_{\max }} = 8{a^2}$ .

${S_{\max }} = 4{a^2}\sqrt 2$ .

${S_{\max }} = 4{a^2}$ .

${S_{\max }} = 16{a^2}$ .

Xem đáp án

97 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 5:

Một cái phễu có dạng hình nón có chiều cao $15(cm).$ Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng $\dfrac{1}{3}$ chiều cao ban đầu của cái phễu (hình 1). Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên (hình 2) thì chiều cao của nước xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần nghìn).

$0,577 (cm)$

$0,216 (cm)$

$0,325 (cm)$

$0,188 (cm)$

Xem đáp án

104

104 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 6:

Một cái phễu có dạng hình nón. Chiều cao của phễu là 20 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng $10 cm$ . Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?

$\left( {20\sqrt[3]{7} - 10} \right)cm$

$10\sqrt[3]{7}cm$

$\left( {20 - 10\sqrt[3]{7}} \right)cm$

$20\sqrt[3]{7}cm$

Xem đáp án

102

102 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 7:

Cho hình tứ diện $ABCD$ có $AD \bot (ABC)$ , $ABC$ là tam giác vuông tại $B.$ Biết $BC = a,$ $AB = a\sqrt 3$ , $AD = 3a.$ Quay các tam giác $ABC$ và $ABD$ (bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng $AB$ ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng

$\dfrac{{8\sqrt 3 \pi {a^3}}}{3}.$

$\dfrac{{3\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{16}}.$

$\dfrac{{5\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{16}}.$

$\dfrac{{4\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{16}}.$

Xem đáp án

119

119 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Trả lời bởi giáo viên

Câu hỏi khác

Một hình nón đỉnh $S$ có bán kính đáy bằng $2a\sqrt 3$ , góc ở đỉnh là $120^\circ$ . Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất ${S_{\max }}$ của thiết diện đó là bao nhiêu?

Đề thi - đề kiểm tra Xem thêm

Hỏi bài tập Xem thêm

Những thắng lợi tiêu biểu trên mặt trận quân sự của nhóm ta trong cuộc kháng chiến chống pháp (1945-1954) làm trên slide thời hạn 3 tuần ( Chiến dịch Việt Bắc-Chiến dịch Biên Giới-Chiến dịch Điện Biên Phủ)

Chúng tôi

Học tốt

Liên kết

Mạng xã hội