Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình tứ diện $ABCD$ có $AD \bot (ABC)$, $ABC$ là tam giác vuông tại $B.$ Biết $BC = a,$ $AB = a\sqrt 3 $, $AD = 3a.$ Quay các tam giác $ABC$ và $ABD$ (bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng $AB$ ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
* Xét mặt phẳng (ABD):
Gọi C’ là điểm ở trong (ABD) sao cho: C’B vuông góc AB và C’B = BC = a.
Gọi $K = AC' \cap BD,\,\,IK \bot AB\,\,(I \in AB)$
Theo Ta – lét ta có:
$\dfrac{{IK}}{{BC'}} = \dfrac{{IA}}{{AB}} = 1 - \dfrac{{IB}}{{AB}} = 1 - \dfrac{{KI}}{{3BC'}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}\dfrac{{KI}}{{BC'}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{KI}}{{BC'}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow IK = \dfrac{3}{4}a$
Thể tích của phần chung là:
$V = \dfrac{1}{3}\pi I{K^2}.IA + \dfrac{1}{3}\pi I{K^2}.IB = \dfrac{1}{3}\pi I{K^2}.AB = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{3a}}{4}} \right)^2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{3\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{16}}$
Hướng dẫn giải:
Do $AD \bot (ABC) \Rightarrow AD \bot AB \Rightarrow $ Khi quay tam giác ABD quanh AB sẽ tạo ra hình nón có đỉnh là B và đáy có bán kính là AD.
Do tam giác ABC vuông tại B $ \Rightarrow BC \bot AB \Rightarrow $ Khi quay tam giác ABC quanh AB sẽ tạo ra hình nón có đỉnh là A và đáy có bán kính là BC.
Phần chung của 2 khối nón này chính là 2 khối nón: đỉnh lần lượt là B và A, bán kính đáy đều là IK (như hình vẽ)
