Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}C_x^y - C_x^{y + 1} = 0\\4C_x^y - 5C_x^{y - 1} = 0\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge y \ge 0\\x \ge y + 1 \ge 0\\x \ge y - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge 1\\x \ge 2\end{array} \right.\,\,\left( {x,y \in N} \right)\)

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}C_x^y - C_x^{y + 1} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4C_x^y - 5C_x^{y - 1} = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow C_x^y = C_x^{y + 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + 1 = y\\y + 1 = x - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = 1\,\,\left( {VN} \right)\\x = 2y + 1\end{array} \right. \Rightarrow x = 2y + 1\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4C_x^y = 5C_x^{y - 1}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4x!}}{{y!\left( {x - y} \right)!}} = \dfrac{{5x!}}{{\left( {y - 1} \right)!\left( {x - y + 1} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{y} = \dfrac{5}{{x - y + 1}}\,\left( * \right)\end{array}$

Thay x = 2y + 1 vào phương trình (*) ta được: \(\dfrac{4}{y} = \dfrac{5}{{2y + 1 - y + 1}} \Leftrightarrow 4\left( {y + 2} \right) = 5y \Leftrightarrow y = 8\,\,\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow x = 2.8 + 1 = 17\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {17;8} \right)\)