Có bao nhiêu giá trị của $n$ thỏa mãn hệ thức sau: $\dfrac{{{P_n} - {P_{n - 1}}}}{{{P_{n + 1}}}} = \dfrac{1}{6}$?

ĐK: $n \ge 1$

$\begin{array}{l}\dfrac{{{P_n} - {P_{n - 1}}}}{{{P_{n + 1}}}} = \dfrac{1}{6} \Leftrightarrow \dfrac{{1.2.3...\left( {n - 1} \right)n - 1.2....\left( {n - 1} \right)}}{{1.2....\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{1}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1.2.3...\left( {n - 1} \right)\left( {n - 1} \right)}}{{1.2.3...\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{1}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{1}{6}\\ \Leftrightarrow 6n - 6 = {n^2} + n\\ \Leftrightarrow {n^2} - 5n + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 3\,\,\left( {tm} \right)\\n = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$