Để phương trình \({\sin ^2}x + 2\left( {m + 1} \right)\sin x - 3m\left( {m - 2} \right) = 0\) có nghiệm, các giá trị của tham số m là:

\({\sin ^2}x + 2\left( {m + 1} \right)\sin x - 3m\left( {m - 2} \right) = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(\sin x = t\,\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\) khi đó phương trình có dạng \({t^2} + 2\left( {m + 1} \right)t - 3m\left( {m - 2} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} + 3m\left( {m - 2} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 = {\left( {2m - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \in R\)

TH1: \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\) phương trình (1) có nghiệm  \(t =  - m - 1 = \dfrac{{ - 1}}{2} - 1 =  - \dfrac{3}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\)

TH2: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\). Khi đó phương trình có 2 nghiệm

\(\left[ \begin{array}{l}{t_1} =  - m - 1 + 2m - 1 = m - 2\\{t_2} =  - m - 1 - 2m + 1 =  - 3m\end{array} \right.\)

Để phương trình (*) có nghiệm thì phương trình (1) có nghiệm \( - 1 \le t \le 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 \le m - 2 \le 1\\ - 1 \le  - 3m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 \le m \le 3\\ - \dfrac{1}{3} \le m \le \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)