Cho phương trình \({x^2} + mx + n - 3 = 0\). Tìm m và n để hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\) của phương trình thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 1\\x_1^2 - x_2^2 = 7\end{array} \right.\)
Trả lời bởi giáo viên
\(\Delta = {m^2} - 4(n - 3) = {m^2} - 4n + 12\).
Phương trình có hai nghiệm \({x_1}\,\,;\,\,{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4n + 12 \ge 0\)
Áp dụng định lý Vi – ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - m\,\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = n - 3\,\,\,.\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} - {x_2} = 1\\
x_1^2 - x_2^2 = 7
\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 1\\({x_1} - {x_2})({x_1} + {x_2}) = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}49 - 4{x_1}{x_2} = 1\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = 12\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n - 3 = 12\\ - m = 7\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 7\\n = 15\end{array} \right.\)
Thử lại ta có: \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.15 + 12 = 1 > 0\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy \(m = - 7;\,\,n = 15.\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng biểu thức \(\Delta \) để tìm điều kiện phương trình có 2 nghiệm, sử dụng định lý Vi – ét biến đổi biểu thức theo \({x_1} + {x_2}\,\,;\,\,{x_1}{x_2}\). Từ đó tìm điều kiện của m và n.