Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Biết \(\overrightarrow {MA'} = k.\overrightarrow {MC} \), \(\overrightarrow {NC'} = l.\overrightarrow {ND} \). Khi \(MN\) song song với \(BD'\) thì khẳng định nào sau đây đúng ?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Đặt \(\overrightarrow {AB} = \vec a\), \(\overrightarrow {AD} = \vec b\), $\overrightarrow {AA'} = \vec c$.
Từ \(\overrightarrow {MA'} = k.\overrightarrow {MC} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AM} = k\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} } \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \dfrac{{\overrightarrow {AA'} - k\overrightarrow {AC} }}{{1 - k}} = \dfrac{{ - k\left( {\vec a + \vec b} \right) + \vec c}}{{1 - k}}\).
và \(\overrightarrow {NC'} = l.\overrightarrow {ND} \) $ \Rightarrow \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AN} = l.\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AN} } \right)$\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} = \dfrac{{\overrightarrow {AC'} - l\overrightarrow {AD} }}{{1 - l}} = \dfrac{{\vec a + \vec b + \vec c - l\vec b}}{{1 - l}}\).
Vậy $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} $\( = \dfrac{{ - k\left( {\vec a + \vec b} \right) + \vec c}}{{1 - k}} - \dfrac{{\vec a + \vec b + \vec c - l\vec b}}{{1 - l}}\)
\( = \left( { - \dfrac{k}{{1 - k}} - \dfrac{1}{{1 - l}}} \right)\vec a + \left( { - \dfrac{k}{{1 - k}} - 1} \right)\vec b + \left( {\dfrac{1}{{1 - k}} - \dfrac{1}{{1 - l}}} \right)\vec c\).
Mặt khác, $\overrightarrow {BD'} = \overrightarrow {AD'} - \overrightarrow {AB} = - \vec a + \vec b + \vec c$.
Để \(MN{\rm{//}}BD'\) thì $\overrightarrow {MN} {\rm{//}}\overrightarrow {BD'} $ \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{k}{{1 - k}} + \dfrac{1}{{1 - l}} = - \dfrac{k}{{1 - k}} - 1\\ - \dfrac{k}{{1 - k}} - 1 = \dfrac{1}{{1 - k}} - \dfrac{1}{{1 - l}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2k}}{{1 - k}} + \dfrac{1}{{1 - l}} = - 1\\\dfrac{{k + 1}}{{1 - k}} - \dfrac{1}{{1 - l}} = - 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \dfrac{{3k + 1}}{{1 - k}} = - 2\) \( \Leftrightarrow k = - 3\). Từ đó ta có: \(\dfrac{1}{{1 - l}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow l = - 1\).
Vậy \(k + l = - 4\).
Hướng dẫn giải:
- Biểu diễn các véc tơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BD'} \) qua ba véc tơ không đồng phẳng \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \)
- Sử dụng điều kiện song song suy ra hệ phương trình ẩn \(k,l\)
- Giải hệ tìm \(k,l\) và kết luận.
