Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \(AC = a\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(SC\), biết góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt đáy bằng \(60^\circ \).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\). Khi đó, ta có: \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\).
Do \(AD{\rm{//}}BC\) nên\(d\left( {AD,SC} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {I,\left( {SBC} \right)} \right)\)
Xét \(\Delta ABD\) có \(DI\) là trung tuyến nên \(DI = \sqrt {\dfrac{{D{A^2} + D{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).
Suy ra \(SI = DI.\tan 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{2}\).
Từ \(I\) kẻ \(IE\) vuông góc với \(BC\). Từ \(I\) kẻ \(IH\) vuông góc với \(SE\). Khi đó, ta chứng minh được \(IH = d\left( {I,\left( {SBC} \right)} \right)\).
Do \(I\) là trung điểm \(AB\) trong \(\Delta ABC\) đều nên \(IE = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \(\dfrac{1}{{I{H^2}}} = \dfrac{1}{{I{S^2}}} + \dfrac{1}{{I{E^2}}} = \dfrac{{116}}{{21{a^2}}}\) hay \(IH = \dfrac{{\sqrt {609} }}{{58}}\).
Kết luận: \(d\left( {AD,SC} \right) = \dfrac{{\sqrt {609} }}{{29}}\).
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng \(d\left( {AD,SC} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\)
- Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB,\) tính khoảng cách \(d\left( {I,\left( {SBC} \right)} \right)\) và suy ra \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {I,\left( {SBC} \right)} \right)\)
