Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và có \(AB = 4\,{\rm{cm}}\). Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Lấy \(M\) thuộc \(SC\) sao cho \(CM = 2MS\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(BM\) là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Cách 1. Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) suy ra \(SH \bot \left( {ABC} \right).\)
Trong $\left( {SAC} \right)$ từ \(M\) dựng \(MN\;{\rm{//}}\;AC\), gọi \(K\) là hình chiếu của \(H\) trên \(BN.\)
Ta có \(AC \bot \left( {SAB} \right)\) mà \(MN\;{\rm{//}}\;AC \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right)\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{HK \bot BN}\\{HK \bot MN}\end{array}} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {BMN} \right).\)
Vì \(\left( {BMN} \right)\;{\rm{//}}\;AC\) suy ra khoảng cách giữa hai đường \(AC\) và \(BM\) là
$d\left( {A,\left( {BMN} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {BMN} \right)} \right) = 2HK = 2BH\sin \widehat {ABN}$
Trong tam giác \(SAB\) hạ \(NF \bot AB\), suy ra \(NF = \dfrac{2}{3}SH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{4\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\), và
\(BF = BH + HF = BH + \dfrac{1}{3}AH = 2 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}\).
Vậy $BN = \sqrt {B{F^2} + N{F^2}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{3}$, $\dfrac{{BN}}{{\sin 60^\circ }} = \dfrac{{AN}}{{\sin \widehat {ABN}}}$$ \Leftrightarrow \sin \widehat {ABN} = \dfrac{{\dfrac{{2a}}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 7 }}{3}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}.$
Suy ra $d\left( {A,\left( {BMN} \right)} \right) = 2.2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{4\sqrt {21} }}{7}.$
Hướng dẫn giải:
Sử dụng \(d\left( {AC,BM} \right) = d\left( {AC,\left( {BMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BMN} \right)} \right)\)
