Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = BC = CA = a$, $SA = SB = SC = a\sqrt 3 $, $M$ là điểm bất kì trong không gian. Gọi $d$ là tổng khoảng cách từ $M$ đến tất cả các đường thẳng $AB$, $BC$, $CA$, $SA$, $SB$, $SC$. Giá trị nhỏ nhất của $d$ bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có khối chóp $S.ABC$ là khối chóp tam giác đều.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Khi đó $SG$ là chiều cao của khối chóp $S.ABC$.
Gọi $D$,$E$,$F$lần lượt là trung điểm của $BC$,$AB$,$CA$ và $I$,$J$,$K$ lần lượt là hình chiếu của $D$,$E$,$F$ trên $SA$,$SC$,$SB$.
Khi đó $DI$,$EJ$,$FK$tương ứng là các đường vuông góc chung của các cặp cạnh $SA$ và $BC$, $SC$ và $AB$, $SB$ và $CA$.
Ta có $DI = EJ = FK$. Do đó $\Delta SID = \Delta SJE$ nên $SI = SJ$.
Suy ra $ED//IJ$ (cùng song song với \(AC\)). Do đó bốn điểm $D$,$E$,$I$,$J$ đồng phẳng.
Tương tự ta có bộ bốn điểm $D$,$F$,$I$,$K$ và $E$,$F$,$J$,$K$ đồng phẳng.
Ba mặt phẳng $\left( {DEIJ} \right)$,$\left( {DFIK} \right)$,$\left( {EFJK} \right)$ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến $DI$, $EJ$, $FK$. Suy ra $DI$,$EJ$,$FK$ đồng quy tại điểm $O$ thuộc $SG$.
Xét điểm $M$bất kì trong không gian.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}d\left( {M,SA} \right) + d\left( {M,BC} \right) \ge DI\\d\left( {M,SC} \right) + d\left( {M,AB} \right) \ge EJ\\d\left( {M,SB} \right) + d\left( {M,AC} \right) \ge FK\end{array} \right. \Rightarrow d \ge DI + EJ + FK$.
Do đó \(d\) nhỏ nhất bằng $DI + EJ + FK = 3DI$ khi $M \equiv O$.
Ta có $AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$, \(AG = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\), $SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}$, $\sin \widehat {SAG} = \dfrac{{SG}}{{SA}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}$.
Suy ra $DI = AD.\sin \widehat {SAD} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là $3DI = 3\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = a\sqrt 6 $.
Hướng dẫn giải:
- Chứng minh \(M \equiv O\) là trọng tâm tứ diện \(SABC\), từ đó tính giá trị nhỏ nhất \(d\)
