Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(a\) và góc \(A\) bằng \(60^\circ \), cạnh \(SC\) vuông góc với đáy và \(SC = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Giá trị lượng giác cô-sin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Từ $SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot BD$.
Từ \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SC\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\).
Kẻ \(CK \bot SO\), từ \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot CK\). Như vậy \(CK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow CK \bot SD\).
Kẻ \(CH \bot SD\), do \(CK \bot SD\) nên suy ra \(SD \bot \left( {CHK} \right)\).
Mặt khác \(\left( {CHK} \right) \cap \left( {SBD} \right) = HK\) và \(\left( {CHK} \right) \cap \left( {SCD} \right) = CK\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\widehat {CHK}\).
Trong tam giác \(SCD\) vuông tại \(C\), ta có:
\(\dfrac{1}{{C{H^2}}} = \dfrac{1}{{C{D^2}}} + \dfrac{1}{{S{C^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{5}{{3{a^2}}} \Rightarrow CH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}\).
Vì \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(a\) và góc \(A\) bằng \(60^\circ \) nên \(CO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Trong tam giác \(SCO\) vuông tại \(C\), ta có:
\(\dfrac{1}{{C{K^2}}} = \dfrac{1}{{C{O^2}}} + \dfrac{1}{{S{C^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow CK = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).
Xét tam giác \(CHK\) vuông tại \(K\), ta có
\(HK = \sqrt {C{H^2} - C{K^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{5} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{a}{{\sqrt {10} }}\).
\(\cos \widehat {CHK} = \dfrac{{HK}}{{CH}} = \dfrac{a}{{\sqrt {10} }}:\dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Vậy, cô-sin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Hướng dẫn giải:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng, sử dụng lý thuyết: Góc giữa hai mặt phẳng (khác \({90^0}\)) là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính góc vừa xác định được ở trên bằng kiến thức hình học đã biết.
