Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp \(SABC\) có mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\;SAB\) là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 3 ,\;BC = a\sqrt 3 ,\) đường thẳng \(SC\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) góc \({60^0}.\) Thể tích của khối chóp \(SABC\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Có \(AB = BC = a\sqrt 3 \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại $B.$
Gọi $H $ là trung điểm của $AC$ ta có \(BH \bot AC\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {SAC} \right) = AC\\\left( {ABC} \right) \supset BH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BH \bot SA\,\,\,\left( 1 \right)\)
Gọi $K$ là trung điểm của $SA,$ do tam giác $SAB$ đều \( \Rightarrow BK \bot SA\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow SA \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow SA \bot HK\).
Lại có $HK $ là đường trung bình của tam giác $SAC$ \( \Rightarrow HK//SC \Rightarrow SA \bot SC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại $S.$
Trong $(SAC)$ kẻ \(SI \bot AC\), tương tự ta có
\(SI \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;IC} \right)} = \widehat {SCI} = {60^0}\)
Xét tam giác vuông $SAC$ có \(SC = SA.\cot 60 = a\sqrt 3 .\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = a \) \(\Rightarrow AC = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\)
\( \Rightarrow {S_{SAC}} = \dfrac{1}{2}SA.SC = \dfrac{1}{2}a\sqrt 3 .a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
Có $H$ là trung điểm của $AC $ \( \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}AC = a \Rightarrow BH = \sqrt {B{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \)
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}BH.{S_{SAC}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\)
Hướng dẫn giải:
+) Sử dụng phương pháp đổi đỉnh. Chóp $S.ABC$ có đỉnh $B$ và đáy $SAC.$
+) Chứng minh tam giác $SAC$ vuông tại $S.$
+) Xác định góc giữa $SC$ và $(ABC).$
+) Sử dụng công thức tính thể tích \(V = \dfrac{1}{3}Bh\).
Câu hỏi khác
- Bài tập thể tích khối chóp toán 12 có lời giải
- Bài tập thể tích lăng trụ, khối hộp toán 12 có lời giải
- Bài tập khối đa diện đều, phép vị tự toán 12 có lời giải
- Bài tập khái niệm về khối đa diện (sự bằng nhau của các khối đa diện) toán 12 có lời giải
- Bài tập khái niệm về khối đa diện toán 12 có lời giải
