Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = 5cm,\;BC = 6cm,\;CA = 7cm$. Hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nằm bên trong tam giác $ABC$. Các mặt phẳng $\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right),\left( {SCA} \right)$ đều tạo với đáy một góc $60^\circ$. Gọi $AD,\;BE,\;CF$ là các đường phân giác của tam giác $ABC$ với $D \in BC,E \in AC,F \in AB$ .Thể tích $S.DEF$ gần nhất với số nào sau đây? 

Vì các mặt phẳng $\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right),\left( {SCA} \right)$ đều tạo với đáy một góc $60^\circ$ và hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nằm bên trong tam giác $ABC$ nên ta có hình chiếu của $S$ xuống mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là tâm đường tròn nội tiếp $I$ của tam giác $ABC$.

Gọi $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$ thì $p = \dfrac{{5 + 6 + 7}}{2} = 9$.

Ta có ${S_{ABC}} = \sqrt {9\left( {9 - 5} \right)\left( {9 - 6} \right)\left( {9 - 7} \right)}  = 6\sqrt 6$ và $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{{6\sqrt 6 }}{9} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}$

Chiều cao của hình chóp là: $h = r.\tan 60^\circ  = 2\sqrt 2$

Kí hiệu $BC = a,AC = b,AB = c$. Ta có:

Vì $BE$ là phân giác của góc $B$ nên ta có: $\dfrac{{AE}}{{CE}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}$. Tương tự $\dfrac{{FA}}{{FB}} = \dfrac{{CA}}{{CB}},\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}$

Khi đó $\dfrac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}.\dfrac{{AF}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AB + BC}}.\dfrac{{AC}}{{AC + BC}}$, tương tự: $\dfrac{{{S_{CED}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{CA}}{{CA + AB}}.\dfrac{{CB}}{{CB + AB}}$,

$\dfrac{{{S_{BFD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{BC}}{{BC + CA}}.\dfrac{{BA}}{{BA + CA}}$

Do đó

${S_{DEF}} = {S_{ABC}}.\left( {1 - \dfrac{{ab}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} - \dfrac{{bc}}{{\left( {b + a} \right)\left( {c + a} \right)}} - \dfrac{{ac}}{{\left( {a + b} \right)\left( {c + b} \right)}}} \right) = \dfrac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}.{S_{ABC}} = \dfrac{{210\sqrt 6 }}{{143}}$

Suy ra: ${V_{S.DEF}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{210\sqrt 6 }}{{143}}.2\sqrt 2  = \dfrac{{280\sqrt 3 }}{{143}}\,\left( {c{m^3}} \right) \approx 3,4\left( {c{m^3}} \right)$