Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C',$ khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $BB'$ bằng $\sqrt 5 ,$ khoảng cách từ $A$ đến các đường thẳng $BB'$ và $CC'$ lần lượt bằng $1$ và $2,$ hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ là trung điểm $M$ của $B'C'$ và $A'M = \sqrt 5 .$ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

Qua $M$ dựng mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với $AA'$ cắt các cạnh $AA',\;BB',\;CC'$ lần lượt tại $N,\;E,\;F.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot NE \Rightarrow NE = d\left( {E,\;AA'} \right) = d\left( {N,\;BB'} \right) = d\left( {A,\;BB'} \right) = 1.\\AA' \bot NF \Rightarrow NF = d\left( {F,\;AA'} \right) = d\left( {N,\;CC'} \right) = d\left( {A,\;CC'} \right) = 2\\AA' \bot \left( P \right) \Rightarrow CC' \bot \left( P \right) \Rightarrow CC' \bot EF \Rightarrow EF = d\left( {E,\;CC'} \right) = d\left( {F,\;BB'} \right) = d\left( {C,\;BB'} \right) = \sqrt 5 .\end{array} \right.$

Có: $N{E^2} + N{F^2} = EF{'^2} \Rightarrow \Delta NEF$ vuông tại $N.$  (định lý Pi-ta-go đảo)

Mà: $\dfrac{{ME}}{{MF}} = \dfrac{{MB'}}{{MC'}} = 1 \Rightarrow ME = MF$ (định lý Ta-lét)$\Rightarrow M$ là trung điểm của $EF.$

$\Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}EF = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}.$

Xét tam giác $AA'M$ vuông tại $M$ ta có:

$\dfrac{1}{{M{N^2}}} = \dfrac{1}{{A{M^2}}} + \dfrac{1}{{A'{M^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{{A{M^2}}} + \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow AM = \dfrac{{\sqrt {15} }}{3}.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot AA'\\\left( {A'B'C'} \right) \bot AM\end{array} \right.$$\Rightarrow \widehat {\left( {\left( P \right),\;\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AA',\;AM} \right)} = \widehat {A'MA}$

$\Rightarrow \cos \widehat {A'AM} = \dfrac{{AM}}{{AA'}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {15} }}{3}}}{{\sqrt {5 + \dfrac{5}{3}} }} = \dfrac{1}{2}.$

Ta thấy $\Delta NEF$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta A'B'C'$ lên mặt phẳng $\left( P \right).$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{A'B'C'}} = \dfrac{{{S_{NEF}}}}{{\cos \widehat {A'AM}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}NE.NF}}{{\dfrac{1}{2}}} = 1.2 = 2.\\ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{A'B'C'}}.AM = 2.\dfrac{{\sqrt {15} }}{3} = \dfrac{{2\sqrt {15} }}{3}.\end{array}$