Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(y = {x^2} - 2\left( {m + \dfrac{1}{m}} \right)x + m\)\(\left( {m > 0} \right)\) xác định trên \(\left[ { - 1;1} \right]\). Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) lần lượt là \({y_1}\), \({y_2}\) thỏa mãn \({y_1} - {y_2} = 8\). Khi đó giá trị của \(m\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Đặt \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m + \dfrac{1}{m}} \right)x + m\).
Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số là \(x = m + \dfrac{1}{m}\)\( \ge 2\) (bất đẳng thức Côsi).
Vì hệ số \(a = 1\)\( > 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;m + \dfrac{1}{m}} \right)\).
Suy ra, hàm số nghịch biến \(\left[ { - 1;1} \right]\).
\( \Rightarrow {y_1} = f\left( { - 1} \right)\)\( = 3m + \dfrac{2}{m} + 1\).
\({y_2} = f\left( 1 \right)\)\( = 1 - m - \dfrac{2}{m}\).
Theo đề bài ta có: \({y_1} - {y_2} = 8\) \( \Leftrightarrow \)\(3m + \dfrac{2}{m} + 1 - 1 + m + \dfrac{2}{m} = 8\)\(\left( {m > 0} \right)\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow m = 1\).
Hướng dẫn giải:
- Xét tính đơn điệu của hàm số trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) rồi suy ra GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn đó.
- Thay các giá trị trên vào điều kiện bài cho tìm \(m\) và kết luận.
