Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} + 6{x^2} + 9x + 3\,\,\left( C \right)$. Tồn tại hai tiếp tuyến của $\left( C \right)$ phân biệt và có cùng hệ số góc $k$, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục $Ox,\,\,Oy$ tương ứng tại $A$ và $B$ sao cho $OA = 2017.OB$. Hỏi có bao nhiêu giá trị của $k$ thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Trả lời bởi giáo viên
Gọi ${M_1}\left( {{x_1};f\left( {{x_1}} \right)} \right);$ ${M_2}\left( {{x_2};f\left( {{x_2}} \right)} \right)$ là hai tiếp điểm mà tại đó tiếp tuyến có cùng hệ số góc.
Ta có $y' = 3{x^2} + 12x + 9$
Khi đó $k = 3x_1^2 + 12{x_1} + 9 = 3x_2^2 + 12{x_2} + 9$$ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2} + 4} \right) = 0$$ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = - 4 = S$$\left( 1 \right)$
Hệ số góc của đường thẳng ${M_1}{M_2}$ là
$k' = \pm \dfrac{{OB}}{{OA}} = \pm \dfrac{1}{{2017}} = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}$
$ \Leftrightarrow \pm \dfrac{1}{{2017}} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} + 6\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = \dfrac{{2016}}{{2017}} = P\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{2018}}{{2017}} = P\end{array} \right.$$\left( 2 \right)$
Với $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4 = S\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{2016}}{{2017}} = P\end{array} \right.$, do ${S^2} > 4P$ nên $\exists $ hai cặp ${x_1},$${x_2}$$ \Rightarrow $$\exists $$1$ giá trị $k$
Với $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4 = S\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{2018}}{{2017}} = P\end{array} \right.$, do ${S^2} > 4P$ nên $\exists $ hai cặp ${x_1},$${x_2}$$ \Rightarrow $$\exists $$1$ giá trị $k$
KL: Có $2$ giá trị $k$
Hướng dẫn giải:
- Tính \(y'\) suy ra hai hệ số góc \({k_1},{k_2}\) theo các nghiệm \({x_1},{x_2}\)
- Lập phương trình \({k_1} = {k_2}\) suy ra một phương trình thể hiện mối quan hệ \({x_1},{x_2}\)
- Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua hai tiếp điểm: \(k = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\) suy ra một phương trình khác về mối quan hệ của \({x_1},{x_2}\)
- Giải hai phương trình ở trên suy ra \(k\)