Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}.$ Tính tổng $S = f\left( {\dfrac{1}{{2019}}} \right) + f\left( {\dfrac{2}{{2019}}} \right) + \,\,...\,\, + f\left( {\dfrac{{2018}}{{2019}}} \right) + f\left( 1 \right).$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} \Rightarrow f\left( {1 - x} \right) = \dfrac{{{4^{1\, - \,x}}}}{{{4^{1\, - \,x}} + 2}}$
$ \Rightarrow f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right)$$ = \dfrac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \dfrac{{{4^{1 - x}}}}{{{4^{1 - x}} + 2}} = \dfrac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \dfrac{4}{{4 + {{2.4}^x}}}$$ = \dfrac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}} + \dfrac{2}{{{4^x} + 2}} = 1$
Khi đó $f\left( {\dfrac{1}{{2019}}} \right) + f\left( {\dfrac{{2018}}{{2019}}} \right) = 1;$ $f\left( {\dfrac{2}{{2019}}} \right) + f\left( {\dfrac{{2017}}{{2019}}} \right) = 1;$ … và $f\left( 1 \right) = \dfrac{4}{6}.$
Vậy $S = f\left( {\dfrac{1}{{2019}}} \right) + f\left( {\dfrac{2}{{2019}}} \right) + \,\,...\,\, + f\left( {\dfrac{{2018}}{{2019}}} \right) + f\left( 1 \right) = \dfrac{{2018}}{2}.1 + \dfrac{4}{6} = \dfrac{{3029}}{3}.$
Hướng dẫn giải:
Nhận xét : 2 giá trị trong ngoặc có tổng bằng $1$, từ đó xác định tổng giá trị hàm số tại các điểm mà có tổng giá trị bằng \(1\) để tính tổng $S$
