Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}.$ Tính tổng $S = f\left( {\dfrac{1}{{2019}}} \right) + f\left( {\dfrac{2}{{2019}}} \right) + \,\,...\,\, + f\left( {\dfrac{{2018}}{{2019}}} \right) + f\left( 1 \right).$

Xét các số thực dương $x,{\rm{ }}y$ thỏa mãn ${\log _{\sqrt 3 }}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy.$ Tìm giá trị ${P_{m{\rm{ax}}}}$ của biểu thức $P = \dfrac{{5x + 4y + 4}}{{x + y + 3}}$.

Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để phương trình ${9^{1 + x}} + {9^{1 - x}} = \left( {m + 2} \right)\left( {{3^{2 + x}} - {3^{2 - x}}} \right) + 45 - 27m$ có nghiệm trên $\left[ {0;1} \right]$

Xét các số thực dương $x,{\rm{ }}y$ thỏa mãn ${\log _{\dfrac{1}{3}}}x + {\log _{\dfrac{1}{3}}}y \le {\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {{x^2} + y} \right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất ${P_{\min }}$ của biểu thức $P{\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y.$

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình${\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} - {2^{{x^2} - 1}} = 0$ có đúng hai nghiệm phân biệt?

Cho $f(x) = a.\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + b.{x^{2017}} + 2018$ với $a,b \in R$. Biết rằng $f\left( {\log \left( {\log e} \right)} \right) = 2019$. Tính giá trị của $f\left( {\log \left( {\ln 10} \right)} \right)$.

Tập hợp $S$ tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình${2^{{{(x - 1)}^2}}}.{\log _2}({x^2} - 2x + 3) = {4^{\left| {x - m} \right|}}.{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)$ có đúng ba nghiệm phân biệt là

Cho phương trình ${2^x} + m = \log {_2}\left( {x - m} \right)$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in \left( { - 18;\;18} \right)$ để phương trình đã cho có nghiệm?