Cho đồ thị $\left( C \right):y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 10$ và điểm $A\left( {m;\, - 10} \right)$. Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị thực của $m$ để có đúng $2$ tiếp tuyến của $\left( C \right)$ qua $A$. Tổng giá trị tất cả các phần tử của $S$ bằng

Gọi $d$ là đường thẳng qua $A\left( {m;\, - 10} \right)$ có hệ số góc $k$.

Suy ra $d:y = k\left( {x - m} \right) - 10$.

$d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$khi hệ phương trình sau có nghiệm

$\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} - 9x + 10 = k\left( {x - m} \right) - 10\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} - 6x - 9 = k\end{array} \right.\,\,$

Thế $k$ vào (1), ta được $2{x^3} - \left( {3m + 3} \right){x^2} + 6mx + 9m - 20 = 0$ (*).

Để có đúng $2$ tiếp tuyến của $\left( C \right)$ qua $A$ thì phương trình (*) có 2 nghiệm.

Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) \(\left( * \right)\) có thể đưa được về dạng \(2{\left( {x - a} \right)^2}\left( {x - b} \right) = 0\) với \(a \ne b\).

Ta có: $2{x^3} - \left( {3m + 3} \right){x^2} + 6mx + 9m - 20 = 2{\left( {x - a} \right)^2}\left( {x - b} \right)$

\( \Leftrightarrow 2{x^3} - \left( {3m + 3} \right){x^2} + 6mx + 9m - 20 = 2{x^3} - 2\left( {2a + b} \right){x^2} + 2\left( {{a^2} + 2ab} \right)x - 2{a^2}b\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \left( {3m + 3} \right) =  - 2\left( {2a + b} \right)\,\,\left( 1 \right)\\6m = 2\left( {{a^2} + 2ab} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\\9m - 20 =  - 2{a^2}b\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 2 \right) \Rightarrow 3m = {a^2} + 2ab = a\left( {a + 2b} \right)\) thay vào \(\left( 1 \right)\) được:

\( - \left( {{a^2} + 2ab} \right) - 3 =  - 4a - 2b\)\( \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 3 + 2ab - 2b = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a - 3} \right) + 2b\left( {a - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a + 2b - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a + 2b = 3\end{array} \right.\)

+) Với \(a = 1\) thì \(3m = 1 + 2b\) thay vào \(\left( 3 \right)\) ta được \(3\left( {1 + 2b} \right) - 20 =  - 2b \Leftrightarrow b = \dfrac{{17}}{8}\)

Suy ra \(m = \dfrac{{1 + 2b}}{3} = \dfrac{7}{4}\).

+) Với \(a + 2b = 3\) thì \(3m = 3a \Leftrightarrow m = a\) thay vào \(\left( 1 \right),\left( 3 \right)\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 3a - 3 =  - 4a - 2b\\9a - 20 =  - 2{a^2}b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 - 2b\\9\left( {3 - 2b} \right) - 20 =  - 2{\left( {3 - 2b} \right)^2}.b\end{array} \right.\)  

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 - 2b\\8{b^3} - 24{b^2} + 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 - 2b\\b =  - \dfrac{1}{2},b = \dfrac{{7 \pm \sqrt {21} }}{4}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(S = \left\{ {\dfrac{7}{4};4;\dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {21} }}{2}} \right\}\).

Suy ra $T = \dfrac{7}{4} + \,4 + \,\dfrac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2} + \dfrac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}$$ = \dfrac{{19}}{4}$.