Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \({\left[ {f\left( {2x + 1} \right)} \right]^2} + {\left[ {f\left( {1 - x} \right)} \right]^3} = x\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \(1\).

Từ \({\left[ {f\left( {2x + 1} \right)} \right]^2} + {\left[ {f\left( {1 - x} \right)} \right]^3} = x\) (*), cho \(x = 0\) ta có \({\left[ {f\left( 1 \right)} \right]^2} + {\left[ {f\left( 1 \right)} \right]^3} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( 1 \right) =  - 1\end{array} \right.\)

Đạo hàm hai vế của (*) ta được \(4.f\left( {2x + 1} \right).f'\left( {2x + 1} \right) - 3{\left[ {f\left( {1 - x} \right)} \right]^2}.f'\left( {1 - x} \right) = 1\)

Cho \(x = 0\) ta được \(4f\left( 1 \right).f'\left( 1 \right) - 3.{\left[ {f\left( 1 \right)} \right]^2}.f'\left( 1 \right) = 1\)\( \Leftrightarrow f\left( 1 \right).f'\left( 1 \right).\left[ {4 - 3f\left( 1 \right)} \right] = 1\) (**)

Nếu \(f\left( 1 \right) = 0\) thì (**) vô lý, do đó \(f\left( 1 \right) =  - 1\), khi đó (**) trở thành

\( - f'\left( 1 \right).\left[ {4 + 3} \right] = 1\)\( \Leftrightarrow f'\left( 1 \right) =  - \dfrac{1}{7}\)

Phương trình tiếp tuyến \(y =  - \dfrac{1}{7}\left( {x - 1} \right) - 1\) \( \Leftrightarrow y =  - \dfrac{1}{7}x - \dfrac{6}{7}\)