Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a\sqrt x }&{khi}&{0 < x < {x_0}}\\{{x^2} + 12}&{khi}&{x \ge {x_0}}\end{array}} \right.$. Biết rằng ta luôn tìm được một số dương ${x_0}$ và một số thực $a$ để hàm số $f$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$. Tính giá trị $S = {x_0} + a$.

+ Khi $0 < x < {x_0}$: $f\left( x \right) = a\sqrt x $ $ \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{a}{{2\sqrt x }}$.

Ta có $f'\left( x \right)$ xác định trên $\left( {0;{x_0}} \right)$ nên liên tục trên khoảng $\left( {0;{x_0}} \right)$.

+ Khi $x > {x_0}$: $f\left( x \right) = {x^2} + 12$ $ \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x$. Ta có $f'\left( x \right)$ xác định trên $\left( {{x_0}; + \infty } \right)$ nên liên tục trên khoảng $\left( {{x_0}; + \infty } \right)$.

+ Tại $x = {x_0}$:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \dfrac{{a\sqrt x  - a\sqrt {{x_0}} }}{{x - {x_0}}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \dfrac{{a\left( {\sqrt x  - \sqrt {{x_0}} } \right)}}{{x - {x_0}}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \dfrac{a}{{\sqrt x  + \sqrt {{x_0}} }}$$ = \dfrac{a}{{2\sqrt {{x_0}} }}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \dfrac{{{x^2} + 12 - \left( {x_0^2 + 12} \right)}}{{x - {x_0}}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \dfrac{{{x^2} - x_0^2}}{{x - {x_0}}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left( {x + {x_0}} \right)$$ = 2{x_0}$.

Hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$$ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{2\sqrt {{x_0}} }} = 2{x_0}$.

Khi đó $f'\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{a}{{2\sqrt {{x_0}} }} = 2{x_0}$ và $f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{{2\sqrt x }}{\rm{   khi }}0 < x < {x_0}\\2x{\rm{       khi }}x \ge {x_0}\end{array} \right.$ nên hàm số $f$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có $\dfrac{a}{{2\sqrt {{x_0}} }} = 2{x_0} \Leftrightarrow a = 4{x_0}\sqrt {{x_0}} $ $\left( 1 \right)$

Mặt khác: Hàm số $f$ liên tục tại ${x_0}$ nên $x_0^2 + 12 = a\sqrt {{x_0}} $ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra ${x_0} = 2$ và $a = 8\sqrt 2 $

Vậy $S = a + {x_0} = 2\left( {1 + 4\sqrt 2 } \right)$.