Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {m;0} \right)\) sao cho từ \(M\) vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng.

Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x\).

Gọi \(A\left( {a;\,{a^3} + 3{a^2}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến $d$ của đồ thị hàm số tại \(A\) là \(y = \left( {3{a^2} + 6a} \right)\left( {x - a} \right) + {a^3} + 3{a^2}\).

$M\left( {m;\,0} \right) \in d$\( \Leftrightarrow \left( {3{a^2} + 6a} \right)\left( {m - a} \right) + {a^3} + 3{a^2} = 0\)\( \Leftrightarrow 2{a^3} - 3\left( {m - 1} \right){a^2} - 6ma = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\2{a^2} - 3\left( {m - 1} \right)a - 6m = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\).

Khi \(a = 0\) ta có phương trình tiếp tuyến \(y = 0\).

Đối với đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nào vuông góc với \(y = 0\) nên yêu cầu bài toán tương đương phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({a_1}\) và \({a_2}\) khác \(0\) thỏa \(y'\left( {{a_1}} \right).y'\left( {{a_2}} \right) =  - 1\) $ \Leftrightarrow \left( {3a_1^2 + 6{a_1}} \right)\left( {3a_2^2 + 6{a_2}} \right) =  - 1$\( \Leftrightarrow 9{a_1}.{a_2}\left[ {{a_1}.{a_2} + 2\left( {{a_1} + {a_2}} \right) + 4} \right] + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 9\left( { - 3m} \right)\left[ { - 3m + 3\left( {m - 1} \right) + 4} \right] + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow  - 27m + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{{27}}\).

Thay \(m = \dfrac{1}{{27}}\) vào \(\left( 1 \right)\) thử lại có 2 nghiệm phân biệt khác \(0\).