Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(y = \sin 3x.\cos x - \sin 2x\). Giá trị của \({y^{\left( {10} \right)}}\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)\) gần nhất với số nào dưới đây?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có \(y = \sin 3x.\cos x - \sin 2x\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right) - \sin 2x\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 4x - \sin 2x} \right)\)
Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh được \({\left( {\sin ax} \right)^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{a^n}\sin \left( {\dfrac{{n\pi }}{2} - ax} \right)\)
Do đó \({y^{\left( {10} \right)}}\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{{\left( { - 1} \right)}^9}{4^{10}}.\sin \left( {5\pi - 4x} \right) - {{\left( { - 1} \right)}^9}{{.2}^{10}}.\sin \left( {5\pi - 2x} \right)} \right)\)
\( = \dfrac{1}{2}\left( { - {4^{10}}.\sin 4x + {2^{10}}\sin 2x} \right)\)
\( \Rightarrow \) \({y^{\left( {10} \right)}}\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)\)\( \approx 454490.13\)
Hướng dẫn giải:
- Thu gọn hàm số đã cho về hàm số lượng giác cơ bản.
- Sử dụng công thức đạo hàm cấp cao \({\left( {\sin ax} \right)^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{a^n}\sin \left( {\dfrac{{n\pi }}{2} - ax} \right)\)
