Cho dãy số $({u_n})$xác định bởi  $\left\{ \begin{array}{ccccc}u{ _1} = \dfrac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{{2 - {u_n}}},\,\,\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\,\,$. Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

$({u_n}):\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{ccccc}u{ _1} = \dfrac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{{2 - {u_n}}},\,\,(n \ge 1)\end{array} \right.\,\,$

$\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{{2 + 1}}\\{u_3} = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{2}{3}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{4}{3}}} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{{3 + 1}}\end{array}$

Chứng minh bằng quy nạp: ${u_n} = \dfrac{n}{{n + 1}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$

* Với $n = 1,\,n = 2$: (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với $n = k$, tức là \({u_k} = \dfrac{k}{{k + 1}}\) , ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ , tức là cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{{k + 1}}{{k + 2}}\)

Ta có: ${u_{k + 1}} = \dfrac{1}{{2 - {u_k}}} = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{k}{{k + 1}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{2k + 2 - k}}{{k + 1}}}} = \dfrac{{k + 1}}{{k + 2}}$

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*) đúng với mọi n = 1, 2, …

Như vậy, công thức tổng quát của dãy $({u_n})$là: ${u_n} = \dfrac{n}{{n + 1}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$

Từ (*) ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2}} - \dfrac{n}{{n + 1}} = \dfrac{{{n^2} + 2n + 1 - {n^2} - 2n}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0\) \( \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng và  \(\lim {u_n} = \lim \dfrac{n}{{n + 1}} = \lim \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = 1 \Rightarrow \) $({u_n})$ là dãy tăng tới 1 khi $n \to  + \infty $