Cho dãy số $({u_n})$với ${u_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}}$. Khi đó $\lim {u_n}$ bằng?

\(\lim \dfrac{{1 - {3^n}}}{{{2^n} + {{4.3}^n}}}\) bằng

\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 3n}  - \sqrt {{n^2} + 2} } \right) = \dfrac{a}{b}\)( \(a,b \in \mathbb{Z}\) và \(\dfrac{a}{b}\) tối giản) thì tổng \({a^2} + {b^2}\) là:

Cho hình vuông $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ có cạnh bằng a và có diện tích $S_{1}$. Chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ và có diện tích $S_{2}$. (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các hình vuông. Goi $S_{n}$ là diện tích của các hình vuông $(n=1,2, \ldots)$. Tìm a biết $S_{1}+S_{2}+\ldots=\dfrac{32}{3}$.

Cho một tam giác đều $A_{1} B_{1} C_{1}$ có cạnh bằng a và có diện tích $S_{1}$. Nối các trung điểm các cạnh được tam giác đều $A_{2} B_{2} C_{2}$ và có diện tích $S_{2}$. (như hình vẽ). Tiếp tục như thế ta được dãy các tam giác đều. Tìm a biết $S=S_{1}+S_{2}+\ldots=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Giá trị của \(A = \lim \dfrac{{2n + 1}}{{1 - 3n}}\) bằng:

Giá trị của \(A = \lim \dfrac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}}\) bằng:

Giá trị của \(D = \lim \dfrac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}\) bằng: