Biết rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1.\) Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{1 + \cos x}}{{{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}}}&{{\rm{khi }}x \ne \pi }\\m&{{\rm{khi }}x = \pi }\end{array}} \right.$ liên tục tại \(x = \pi .\)

Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Điều kiện của bài toán trở thành:

$m = f\left( \pi  \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } f\left( x \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \dfrac{{1 + \cos x}}{{{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \dfrac{{2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \dfrac{{2{{\sin }^2}\left( {\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi }{2}} \right)}}{{{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{\frac{1}{4}.2{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)}}{{\frac{1}{4}.{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{\frac{1}{2}{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{x - \pi }}{2}} \right)}^2}}}$ $ = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)}}{{{{\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)}^2}}}$ $ = \dfrac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } {\left[ {\dfrac{{\sin \left( {\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi }{2}} \right)}}{{\left( {\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi }{2}} \right)}}} \right]^2}\,\,\left( * \right)$

Đặt \(t = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi }{2} \to 0\) khi \(x \to 1.\) Khi đó $\left( * \right)$ trở thành: \(m = \dfrac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {\left( {\dfrac{{\sin t}}{t}} \right)^2} = \dfrac{1}{2}{.1^2} = \dfrac{1}{2}.\)