Đề thi giữa học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo năm 2022 - 2023 có đáp án (Đề 1)

Đề kiểm tra giữa học kì 2 năm học 2022 – 2023

Bộ sách: Chân trời sáng tạo

ĐỀ SỐ 1

A. Ma trận đề thi giữa học kì 2

Lưu ý:

- Các câu hỏi ở cấp độ nhận biết và thông hiểu là các câu hỏi trắc nghiệm khách quan 4 lựa chọn, trong đó có duy nhất 1 lựa chọn đúng.

- Các câu hỏi ở cấp độ vận dụng và vận dụng cao là các câu hỏi tự luận.

- Số điểm tính cho 1 câu trắc nghiệm là 0,2 điểm/câu; số điểm của câu tự luận được quy định trong hướng dẫn chấm nhưng phải tương ứng với tỉ lệ điểm được quy định trong ma trận.

BẢNG ĐẶC TẢ KĨ THUẬT ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 2

B. Đề thi giữa học kì 2

ĐỀ SỐ 1

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Biểu thức nào sau đây không phải là tam thức bậc hai ?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 2. Cho tam thức bậc hai , khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. luôn mang dấu dương với mọi giá trị ;

B. luôn mang dấu âm với mọi giá trị ;

C. luôn mang dấu dương với mọi giá trị ;

D. luôn mang dấu âm với mọi giá trị .

Câu 3. Tam thức bậc hai có các hệ số là

A. , , ; B. , , ;

C. , , ; D. , , .

Câu 4. Tam thức bậc hai mang dấu dương trên khoảng nào sau đây?

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 5. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. khi ;

B. khi ;

C. khi ;

D. khi .

Câu 6. Bất phương trình nào dưới đây là bất phương trình bậc hai một ẩn?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 7. là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 8. Giá trị nào dưới đây không phải là một nghiệm của bất phương trình ?

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình bậc hai là

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 10. Giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt là

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 11. Giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình ?

A. ; B. ;

C. ; D. Không có giá trị thỏa mãn.

Câu 12. Giá trị là nghiệm của phương trình nào sau đây ?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 13. Số nghiệm tối đa của phương trình là

A. 3 nghiệm; B. 2 nghiệm;

C. 1 nghiệm; D. Vô số nghiệm.

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ , cho vectơ . Tọa độ của vectơ là

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm và . Tính độ dài vectơ .

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 16. Cho ba vectơ , , . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hai vectơ cùng phương;

B. Hai vectơ cùng phương;

C. Hai vectơ cùng phương;

D. Không có cặp vectơ nào cùng phương trong ba vectơ trên.

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ , cho và . Tọa độ vectơ là

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 18. Cho tam giác có , , . Để là trọng tâm của tam giác thì giá trị và là

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai vectơ và . Tọa độ của vectơ là

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 20. Cho đường thẳng . Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 21. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng ?

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 22. Cho hai đường thẳng và . Nếu hệ có vô số nghiệm thì

A. ; B. ;

C. và cắt nhau tại một điểm; D. và trùng nhau.

Câu 23. Cho đường thẳng đi qua điểm và có một vectơ chỉ phương là , phương trình tham số của đường thẳng là

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 24. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm , là

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 25. Cho hai đường thẳng và , khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm ;

B. Hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm ;

C. Hai đường thẳng và song song;

D. Hai đường thẳng và trùng nhau.

Câu 26. Trong các phương trình sau, đâu là phương trình đường tròn ?

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 27. Cho phương trình đường tròn , đường tròn có tâm và bán kính là

A. và ; B. và ;

C. và ; D. và .

Câu 28. Đường tròn có tâm và có bán kính , phương trình của đường tròn là

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 29. Phương trình đường tròn có đường kính với và là

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 30. Đường tròn có tâm là và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình là

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ , phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của một elip?

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ , phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của một hypebol?

A. ; B. ; C. ; D. .

Câu 33. Phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm là

A. ; B. ;

C. ; D. .

Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ , cho elip . Tiêu cự của bằng

A. 10; B. 16; C. 4; D. 8.

Câu 35. Phương trình chính tắc của hypebol có và tiêu cự bằng 4 là

A. ; B. ; C. ; D. .

II. Tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1 điểm) Hà dự định làm một khung ảnh hình chữ nhật sao cho phần trong của khung là hình chữ nhật có kích thước 7 cm × 13 cm, độ rộng viền xung quanh là cm (như hình vẽ). Diện tích của viền khung ảnh không vượt quá 44 cm². Hỏi độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là bao nhiêu xen-ti-mét?

Bài 2. (1 điểm) Cho tam giác có và trọng tâm , điểm là trung điểm của cạnh . Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng .

Bài 3. (1 điểm) Bên trong một sân thể thao, để chuẩn bị cho cuộc thi ném tạ, người ta dự định vẽ hai nửa hình tròn bằng nhau và một vòng tròn (xem hình vẽ), hai nửa hình tròn là vị trí để các vận động viên đứng ném và vòng tròn là đích đến của tạ đạt điểm. Hãy tìm bán kính của các nửa hình tròn và vòng tròn ấy để tổng chu vi của chúng là 36 m mà tổng diện tích là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy , độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.

-----HẾT-----

C. Đáp án và hướng dẫn giải đề thi giữa học kì 2

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1

Câu 1.

Tam thức bậc hai (đối với ) là biểu thức dạng . Trong đó , , là những số cho trước với .

Như vậy không phải là tam thức bậc hai.

Câu 2.

có: .

Xét .

Mà

Như vậy tam thức luôn mang dấu dương với mọi giá trị .

Câu 3.

Ta có:

Như vậy, các hệ số của tam thức bậc hai này là: , , .

Xét có:

Do đó, có hai nghiệm phân biệt là

; .

Như vậy, trên các khoảng và

Mà nên mang dấu dương trên khoảng .

Xét tam thức và , do đó tam thức có hai nghiệm .

Mặt khác có , nên ta có bảng xét dấu sau:

Do đó, khi ,

khi , khi ,

khi .

Vậy đáp án C sai.

Ta có: , đây là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Thay vào các bất phương trình ở từng đáp án, ta thấy chỉ có bất phương trình D thỏa mãn: .

Với , ta có: ;

Với , ta có: ;

Với , ta có: ;

Với , ta có: ;

Vậy không là một nghiệm của bất phương trình .

Xét tam thức bậc hai có

Như vậy với mọi

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

.

Vậy .

Câu 11.

Ta có:

Khi thì , do đó, không là nghiệm của phương trình .

Khi thì , do đó, không là nghiệm của phương trình .

Khi thì , do đó, không là nghiệm của phương trình .

Vậy không có giá trị nào trong các giá trị trên là nghiệm của phương trình .

Câu 12.

Thay vào hai vế phương trình ta thấy:

.

Do đó, là nghiệm của phương trình .

Câu 13.

Phương trình là phương trình quy về phương trình bậc hai nên nó chỉ có tối đa 2 nghiệm.

Ta có: .

Do đó, tọa độ của vectơ là .

Ta có: .

Ta có: .

Vậy hai vectơ cùng phương.

Ta có: .

là trọng tâm của tam giác khi và chỉ khi .

Giải hệ phương trình trên ta được .

Ta có: .

Câu 20.

Đường thẳng có các hệ số: , , và có một vectơ pháp tuyến .

Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta có:

Do đó, thuộc đường thẳng .

Câu 22.

Ta có hai đường thẳng và .

Nếu hệ có vô số nghiệm thì và trùng nhau.

Câu 23.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là là: .

Ta có: là một vectơ chỉ phương của đường thẳng .

Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là: .

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm , là

.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và là nghiệm của hệ phương trình

.

Như vậy hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm .

Phương trình đường tròn tâm , bán kính có dạng:

.

Vậy là phương trình đường tròn với tâm và bán kính .

Ta có: .

Do đó, đường tròn đã cho có tâm và bán kính là .

Đường tròn có tâm và có bán kính , phương trình của đường tròn là: .

Do đường tròn có đường kính với và nên tâm của đường tròn là trung điểm của .

Ta có:

Do đó, .

Mặt khác, .

Vậy phương trình đường tròn có đường kính với và là:

.

Do đường tròn có tâm là và tiếp xúc với đường thẳng nên bán kính là: .

Vậy phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu là:

.

Phương trình chính tắc của elip có dạng .

Do đó, ta loại ngay đáp án B và C.

Xét đáp án A, ta có , do đó phương trình ở đáp án A không thỏa mãn.

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng .

Do đó, trong các phương trình đã cho thì là phương trình chính tắc của hypebol.

Phương trình chính tắc của parabol có dạng .

Vì parabol đã cho đi qua điểm nên ta có: .

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là .

Câu 34.

Từ , ta suy ra a = 5, b = 3, do đó .

Tiêu cự của là .

Xét hypebol có phương trình chính tắc là .

Từ giả thiết ta có: .

Vậy có phương trình là: .

Bài 1. (1 điểm)

Diện tích hình chữ nhật bên trong khung ảnh (không bao gồm viền) là 7 . 13 = 91 (cm²).

Vì độ rộng viền xung quanh là cm nên và kích thước của khung ảnh là

cm.

Diện tích viền khung ảnh là: (cm²).

Theo bài ra ta có: .

Giải bất phương trình trên ta được . Do nên .

Vậy độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là 1 cm.

Bài 2. (1 điểm)

Gọi và .

Do điểm là trung điểm của cạnh nên ta có:

.

Do là trọng tâm của tam giác nên ta có:

Mà: ;

Do đó, .

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương

Do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là: .

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là .

Bài 3. (1 điểm)

Gọi bán kính của vòng tròn và hai nửa hình tròn tương ứng là , (m) .

Chu vi của vòng tròn là: (m).

Vì hai nửa hình tròn bằng nhau nên tổng chu vi của hai nửa này bằng tổng chu vi của đường tròn bán kính (m) với 2 lần độ dài đường kính của đường tròn đó, do đó chu vi của hai nửa hình tròn là: (m).

Tổng chu vi của chúng là 36 m nên ta có:

.

Diện tích của vòng tròn là: .

Diện tích của hai nửa hình tròn là: .

Gọi tổng diện tích của chúng là . Khi đó ta có:

.

Trong mặt phẳng tọa độ , xét đường tròn có tâm và bán kính và đường thẳng .

Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm nhỏ nhất để và có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Bài toán trên tương đương với tiếp xúc với , đồng thời khi đó điểm trùng với điểm là hình chiếu vuông góc của trên .

Ta có:

Suy ra đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là:

Phương trình đường thẳng là:

.

Điểm là giao điểm của đường thẳng và đường thẳng nên tọa độ của là nghiệm của hệ phương trình

.

Vậy bán kính vòng tròn xấp xỉ bằng 1,56 m và bán kính hai nửa hình tròn xấp xỉ bằng 2,55 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.