I. Phép chia hết
Khi nào thì a chia hết cho b?
Cho hai số tự nhiên \(a\) và \(b,\) trong đó \(b \ne 0,\) nếu có số tự nhiên \(x\) sao cho \(b.x = a\) thì ta nói \(a\) chia hết cho \(b\) và ta có phép chia hết \(a:b = x\), kí hiệu là \(a \vdots b\).
Ví dụ:
Thực hiện phép chia sau: 1560:15
II. Phép chia có dư
Cho hai số tự nhiên \(a\) và \(b\), trong đó \(b \ne 0\). Ta luôn tìm được đúng hai số tự nhiên \(q\) và \(r\) sao cho \(a = b.q + r\), trong đó \(0 \le r < b\). Ta gọi \(q\) và \(r\) lần lượt là thương và số dư trong phép chia \(a\) cho \(b\).
- Nếu \(r = 0\), tức là \(a = b.q\), ta nói \(a\) chia hết cho \(b\).
- Nếu \(r \ne 0\), ta nói \(a\) không chia hết cho \(b\), kí hiệu \(a\not \vdots b\).
Ví dụ: Viết kết quả của phép chia \(144:13\) dưới dạng \(a = b.q + r\)
Ta có:
\(a = 144,b = 13,q = 11,r = 1\)
Vậy \(144 = 13.11 + 1\)
III. Tính chất chia hết của một tổng
- Tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.
\(a \vdots m\) và \(b \vdots m\) \( \Rightarrow \left( {a + b} \right) \vdots m\)
\(a \vdots m\) và \(b \vdots m\) \( \Rightarrow \left( {a - b} \right) \vdots m\) với \(\left( {a \ge b} \right)\)
\(a \vdots m;b \vdots m;c \vdots m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \vdots m\)
- Tính chất 2: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.
\(a \vdots m\) và \(b\not \vdots m\)
\(a \vdots m\) và \(b\not \vdots m\)\( \Rightarrow \left( {a + b} \right)\not \vdots m\)
\(a \vdots m\) và \(b\not \vdots m\)\( \Rightarrow \left( {a - b} \right)\not \vdots m\) với \(\left( {a \ge b} \right)\)
\(a\not \vdots m\) và \(b \vdots m\)\( \Rightarrow \left( {a - b} \right)\not \vdots m\) với \(\left( {a \ge b} \right)\)
\(a\not \vdots m;\,b \vdots m;\,c \vdots m \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\not \vdots m\)
Lưu ý:
Nếu \(a\not \vdots m\) và \(b\not \vdots m\) thì chưa chắc \(\left( {a + b} \right)\not \vdots m\) và \(\left( {a - b} \right)\not \vdots m\)
Chẳng hạn, \(12\not \vdots 5\) và \(13\not \vdots 5\) nhưng \(\left( {12 + 13} \right) = 25 \vdots 5\)
\(16\not \vdots 5\) và \(1\not \vdots 5\) nhưng \(\left( {16 - 1} \right) = 15 \vdots 5\)
