Câu hỏi:
2 năm trước
Với \(a,b,c > 0\). Biểu thức \(P = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có:
\(\begin{array}{l}P + 3 = \dfrac{a}{{b + c}} + 1 + \dfrac{b}{{c + a}} + 1 + \dfrac{c}{{a + b}} + 1\\ = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{a + b + c}}{{c + a}} + \dfrac{{a + b + c}}{{a + b}}\\ = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{{x + y + z}}\) suy ra: \(\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}} \ge \dfrac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}}\).
$=>P + 3 \ge (a+b+c).\dfrac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}}$
Do đó \(P + 3 \ge \dfrac{9}{2} \Rightarrow P \ge \dfrac{3}{2}\); đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c\).
Hướng dẫn giải:
- Cộng mỗi số hạng của \(P\) với \(1\), biến đổi về dạng tích \(P + 3 = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)\).
- Sử dụng bất đẳng thức cơ bản \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{{x + y + z}}\) suy ra kết luận.
Câu hỏi khác
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất đẳng thức toán 10 có lời giải
- Bài tập dấu của nhị thức bậc nhất toán 10 có lời giải
- Bài tập đại cương về bất phương trình toán 10 có lời giải
