Từ các số $\left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6} \right\}$ viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm $6$ chữ số khác nhau có dạng $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} $. Tính xác suất để viết được số thoả mãn điều kiện ${a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6}$.

Ta dễ có số phần tử của không gian mẫu là $\left| \Omega  \right| = 6.A_6^5 = 4320$.

Gọi $A$ là biến cố “chọn được số thoả mãn yêu cầu bài toán”. Khi đó ta có $3$ phương án để chọn số $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} $ như sau:

• Phương án $1$: ${a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6} = 5$. Khi đó

$\left\{ {\left( {{a_1},{a_2}} \right);\left( {{a_3},{a_4}} \right);\left( {{a_5},{a_6}} \right)} \right\} \subset \left\{ {\left( {0,5} \right);\left( {1,4} \right);\left( {2,3} \right)} \right\}$.

• Phương án $1.1$: $\left( {{a_1},{a_2}} \right) = \left( {0,5} \right) \Rightarrow $có $2.{\left( {2!} \right)^2}$ cách chọn;
• Phương án $1.2$: $\left( {{a_1},{a_2}} \right) \ne \left( {0,5} \right) \Rightarrow $có $4.{\left( {2!} \right)^3}$ cách chọn.

Vậy có $2.{\left( {2!} \right)^2} + 4.{\left( {2!} \right)^3} = 40$ cách chọn.

• Phương án $2$: ${a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6} = 6$. Khi đó

$\left\{ {\left( {{a_1},{a_2}} \right);\left( {{a_3},{a_4}} \right);\left( {{a_5},{a_6}} \right)} \right\} \subset \left\{ {\left( {0,6} \right);\left( {1,5} \right);\left( {2,4} \right)} \right\}$. Phương án này hoàn toàn tương tự phương án $1$ do đó có $2.{\left( {2!} \right)^2} + 4.{\left( {2!} \right)^3} = 40$ cách chọn.

• Phương án $1$: ${a_1} + {a_2} = {a_3} + {a_4} = {a_5} + {a_6} = 7$. Khi đó

$\left\{ {\left( {{a_1},{a_2}} \right);\left( {{a_3},{a_4}} \right);\left( {{a_5},{a_6}} \right)} \right\} \subset \left\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,5} \right);\left( {3,4} \right)} \right\}$, suy ra có $3!.{\left( {2!} \right)^3} = 48$ cách chọn.

Vậy số phần tử của $A$: $\left| A \right| = 40.2 + 48 = 128$. Suy ra $p = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{128}}{{4320}} = \dfrac{4}{{135}}$.