Câu hỏi:
2 năm trước

Với \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^1 + C_n^2 = 55\), hệ số của \({x^5}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {{x^3} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}\) bằng

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: a

Ta có \(C_n^1 + C_n^2 = 55\)\( \Leftrightarrow n + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 55\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 110 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 10\\n =  - 11\end{array} \right.\)\( \Rightarrow n = 10\).

Số hạng tổng quát trong khai triển \({\left( {{x^3} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^{10}}\) là \({T_{k + 1}} = C_{10}^k{\left( {{x^3}} \right)^{10 - k}}.{\left( {\dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^k}\)\( = C_{10}^k{.2^k}.{x^{30 - 5k}}\).

Số hạng chứa \({x^5}\) ứng với \(30 - 5k = 5 \Leftrightarrow k = 5\).

Vậy, hệ số của \({x^5}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {{x^3} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^{10}}\) bằng \(C_{10}^5{.2^5} = 8064\).

Hướng dẫn giải:

- Giải phương trình tìm \(n\)

- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton tìm hệ số của \({x^5}\)

Câu hỏi khác